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(I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(l>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx； (Ⅱ)求

admin2019-04-22  53
问题 (I)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(l>0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx；
(Ⅱ)求
选项
答案(I)证明 必要性 设φ(a)=∫aa+lf(x)dx一∫0lf(x)dx，由题设 φ’(a)=f(a+1)一f(a)=0， 则φ(a)=c(常数)。设a=0，则c=φ(0)=0，那么∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx。 充分性 在∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期。 (Ⅱ)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 [*] 在上式第2项中作变量替换x=π—t，即可化为第1项，故 原式=[*]
解析
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考研数学二

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