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  3. 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

admin2017-09-15  81
问题 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．
选项
答案因为(BTAB)T＝BTAT(BT)T＝BTAB，所以BTAB为对称矩阵，设BTAB是正定矩阵，则对任意的X≠0， XTBTABX＝(BX)TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX＝0只有零解，所以r(B)＝n． 反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0， 因为A为正定矩阵，所以XT(BTAB)X＝(BX)TA(BX)＞0，所以BTAB为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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