设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

admin2017-09-15 53

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

选项

答案因为(B^TAB)^T＝B^TA^T(B^T)^T＝B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0， X^TB^TABX＝(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX＝0只有零解，所以r(B)＝n．反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X＝(BX)^TA(BX)＞0，所以B^TAB为正定矩阵．

解析

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