设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

admin2017-09-15 77

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

选项

答案因为(B^TAB)^T＝B^TA^T(B^T)^T＝B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0， X^TB^TABX＝(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX＝0只有零解，所以r(B)＝n．反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X＝(BX)^TA(BX)＞0，所以B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fzk4777K

考研数学二

相关试题推荐

[*]
设f(x)为单调函数且二阶可导，其反函数为g(x)，又f(1)＝2，，f〞(1)＝1．求gˊ(2)，g〞(2)．
设f(x)在区间[-a，a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ζ，使f"’(ζ)=3．
微分方程ydx＋(x－3y2)dy＝0满足条件y｜x＝1＝1的解为y＝_________．
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．求a，b的值．
本题为“1x”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也可将n换为x转化为函数极限进行计算．一般[*]
设A是n阶方阵，线性方程组AX＝0有非零解，则线性非齐次方程组ATX＝b对任意b＝(b1，b2，…，bn)T()．
A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但不等价的无穷小B

随机试题

_______客户具有高度的满意度，但同时转换度也非常高，他们对价格和促销非常敏感。
“肾衰竭指数”指
杜仲与续断的共同功效是
患儿体温38.7℃，可采用的最佳降温方法是青霉素皮试阴性后，肌内注射应选择的最佳部位是
下列各项中关于账簿的选择，说法正确的是()。
以下说法不正确的是(　　)。
根据《行政诉讼法》的相关规定，下列说法错误的是：
在一项关于求职人员的调查中，2/5的人承认至少有一些不诚实。然而，这项调查可能低估了有不诚实行为的求职人员的比例，因为______。以下哪一选择能最好地完成上面的短文?()
查询包括【】、删除查询、生成表查询和选择查询4种。
CosmeticSurgerySurgerythatcanimprovethewayapersonlooksisbecomingmoreandmorepopularintheUnitedStates.Th

最新回复(0)

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

考研数学二

[*]

设f(x)为单调函数且二阶可导，其反函数为g(x)，又f(1)＝2，，f〞(1)＝1．求gˊ(2)，g〞(2)．

设f(x)在区间[-a，a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ζ，使f"’(ζ)=3．

微分方程ydx＋(x－3y2)dy＝0满足条件y｜x＝1＝1的解为y＝_________．

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．求a，b的值．

本题为“1x”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也可将n换为x转化为函数极限进行计算．一般[*]

设A是n阶方阵，线性方程组AX＝0有非零解，则线性非齐次方程组ATX＝b对任意b＝(b1，b2，…，bn)T()．

A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但不等价的无穷小B

_______客户具有高度的满意度，但同时转换度也非常高，他们对价格和促销非常敏感。

“肾衰竭指数”指

杜仲与续断的共同功效是

患儿体温38.7℃，可采用的最佳降温方法是青霉素皮试阴性后，肌内注射应选择的最佳部位是

下列各项中关于账簿的选择，说法正确的是()。

以下说法不正确的是( )。

根据《行政诉讼法》的相关规定，下列说法错误的是：

在一项关于求职人员的调查中，2/5的人承认至少有一些不诚实。然而，这项调查可能低估了有不诚实行为的求职人员的比例，因为______。以下哪一选择能最好地完成上面的短文?()

查询包括【】、删除查询、生成表查询和选择查询4种。

CosmeticSurgerySurgerythatcanimprovethewayapersonlooksisbecomingmoreandmorepopularintheUnitedStates.Th

以下说法不正确的是(　　)。