(2018年)将长为2 m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

admin2018-07-01  43

问题 (2018年)将长为2 m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

选项

答案设圆的半径为x,正方形与正三角形的边长分别为y和z,则问题化为:函数f(x,y,z)=πx2+y2+[*]z2在条件2πx+4y+3z=2(x>0.y>0,z>0)下是否存在最小值. 令L(x,y,z,λ)=πx2+y2+[*]z2+λ(2πx+4y+3z一2). 考虑方程组 [*] 解得 [*] 又当2πx+4y+3z=2且xyz=0时,f(x,y,z)的最小值为 [*] 所以三个图形的面积之和存在最小值,最小值为 [*]

解析
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