已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为区域D的正向边界．试证 (1)∮Lxesinydy-ye-sinxdx=∮Lxe-sinydy-yesinxdx； (2)∮Lxesiny-ye-sinxdx≥2π2．

admin2023-03-22 32

问题已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为区域D的正向边界．试证
(1)∮_Lxe^sinydy-ye^-sinxdx=∮_Lxe^-sinydy-ye^sinxdx；
(2)∮_Lxe^siny-ye^-sinxdx≥2π²．

选项

答案(1)由格林公式，得 ∮_Lxe^sinydy-ye^-sinxdx=[*](e^siny+e^-sinx)dxdy， ∮_Lxe^-sinydy-ye^sinxdx=[*](e^-siny+e^sinx)dxdy，因为D关于y=x对称，所以 [*](e^siny+e^-sinx)dxdy=[*](e^-siny+e^sinx)dxdy．故 ∮_Lxe^sinydy-ye^-sinxdx=∮_Lxe^-sinydy-ye^sinxdx． (2)由(1)知 ∮_Lxe^sinydy-ye^-sinxdx=[*](e^siny+e^-sinx)dxdy =[*](e^sinx+e^-sinx)dxdy ≥[*]2dxdy≥2π²．

解析

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