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已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为区域D的正向边界.试证 (1)∮Lxesinydy-ye-sinxdx=∮Lxe-sinydy-yesinxdx; (2)∮Lxesiny-ye-sinxdx≥2π2.
已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为区域D的正向边界.试证 (1)∮Lxesinydy-ye-sinxdx=∮Lxe-sinydy-yesinxdx; (2)∮Lxesiny-ye-sinxdx≥2π2.
admin
2023-03-22
36
问题
已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π},L为区域D的正向边界.试证
(1)∮
L
xe
siny
dy-ye
-sinx
dx=∮
L
xe
-siny
dy-ye
sinx
dx;
(2)∮
L
xe
siny
-ye
-sinx
dx≥2π
2
.
选项
答案
(1)由格林公式,得 ∮
L
xe
siny
dy-ye
-sinx
dx=[*](e
siny
+e
-sinx
)dxdy, ∮
L
xe
-siny
dy-ye
sinx
dx=[*](e
-siny
+e
sinx
)dxdy, 因为D关于y=x对称,所以 [*](e
siny
+e
-sinx
)dxdy=[*](e
-siny
+e
sinx
)dxdy. 故 ∮
L
xe
siny
dy-ye
-sinx
dx=∮
L
xe
-siny
dy-ye
sinx
dx. (2)由(1)知 ∮
L
xe
siny
dy-ye
-sinx
dx=[*](e
siny
+e
-sinx
)dxdy =[*](e
sinx
+e
-sinx
)dxdy ≥[*]2dxdy≥2π
2
.
解析
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考研数学三
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