设f在[0，+∞)上可微，且0≤f’(x)≤f(x)，f(0)=0．证明；在[0，+∞)上f(x)≡0．

admin2022-11-23 35

问题设f在[0，+∞)上可微，且0≤f’(x)≤f(x)，f(0)=0．证明；在[0，+∞)上f(x)≡0．

选项

答案令g(x)=e^-xf(x)，x∈[0，+∞)，则g(0)=0．g(x)≥0．因为f’(x)≤f(x)，所以 g’(x)=e^-xf’(x)-e^-xf(x)=e^-x(f’(x)-f(x))≤0，x∈[0，+∞)．因此，g为[0，+∞)上的递减函数，于是，0≤g(x)≤g(0)=0，x∈[0，+∞)，故g(x)≡0，由此得在[0，+∞)上f(x)≡0．

解析

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考研数学一

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