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设函数f(x)在[0,2π]上连续可微,f’(x)≥0,证明:对任意正整数n,有|∫02πf(x)sinnxdx|≤[f(2π)-f(0)].
设函数f(x)在[0,2π]上连续可微,f’(x)≥0,证明:对任意正整数n,有|∫02πf(x)sinnxdx|≤[f(2π)-f(0)].
admin
2023-01-06
28
问题
设函数f(x)在[0,2π]上连续可微,f’(x)≥0,证明:对任意正整数n,有|∫
0
2π
f(x)sinnxdx|≤
[f(2π)-f(0)].
选项
答案
因为f’(x)≥0,所以f(0)≤f(2π),从而f(2π)-f(0)≥0. 由∫
0
2x
f(x)sinnxdx=-1/n∫
0
2π
f(x)d(cosnx) =-1/nf(x)cosnx|
0
2π
+1/n∫
0
2π
f’(x)cosnxdx =-1/n[f(2π)-f(0)]+1/n∫
0
2π
f’(x)cosnxdx得 |∫
0
2π
f(x)sinnxdx|≤1/n[f(2π)-f(0)]+1/n∫
0
2π
|f’(x)cosnx|dx ≤1/n[f(2π)-f(0)]+1/n∫
0
2π
f’(x)dx=2/n[f(2π)-f(0)].
解析
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0
考研数学二
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