设函数f(x)在[0，2π]上连续可微，f’(x)≥0，证明：对任意正整数n，有｜∫02πf(x)sinnxdx｜≤[f(2π)－f(0)]．

admin2023-01-06 30

问题设函数f(x)在[0，2π]上连续可微，f’(x)≥0，证明：对任意正整数n，有｜∫₀^2πf(x)sinnxdx｜≤

[f(2π)－f(0)]．

选项

答案因为f’(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，从而f(2π)－f(0)≥0．由∫₀^2xf(x)sinnxdx=－1/n∫₀^2πf(x)d(cosnx) =－1/nf(x)cosnx｜₀^2π+1/n∫₀^2πf’(x)cosnxdx =－1/n[f(2π)－f(0)]+1/n∫₀^2πf’(x)cosnxdx得｜∫₀^2πf(x)sinnxdx｜≤1/n[f(2π)-f(0)]+1/n∫₀^2π｜f’(x)cosnx｜dx ≤1/n[f(2π)－f(0)]+1/n∫₀^2πf’(x)dx=2/n[f(2π)－f(0)]．

解析

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