2. 考研
  3. 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α，证明： (Ⅰ)矩阵B=[α，Aα，A4α]可逆； (Ⅱ) BTB为正定矩阵．

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α，证明： (Ⅰ)矩阵B=[α，Aα，A4α]可逆； (Ⅱ) BTB为正定矩阵．

admin2020-04-09  23
问题 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α，证明：
(Ⅰ)矩阵B=[α，Aα，A4α]可逆；
(Ⅱ) BTB为正定矩阵．
选项
答案(1)由A3α一3Aα一2A2α得到 A4α=A．A3α=3A2α一2A3α=3A2α一2(3Aα一2A2α)=一6Aα+7A2α， 则 [α，Aα，A4α]=[α，Aα，A2α][*]=[α，Aα，A2α]G． 因|G|=[*]=7≠0，α，Aα，A2α线性无关，故α，Aα，A4α线性无关，所以矩阵B可逆． 设k1α+k2Aα+k3A4α=0，即 k1α+k2Aα+k3(7A2α一6Aα)=0， 亦即 k1α+(k2一6k3)Aα+7k3A2α=0． 因α，Aα，A2α线性无关，故 k1=0，k2一6k3=0，7k3=0，即 k1=k2=k3=0， 所以α，Aα，A4α线性无关，因而矩阵B可逆． (2)因(BTB)T=BT(BT)T=BTB，故BTB为实对称矩阵． 又对任意X≠0，因B可逆，有BX≠0，于是有 XT(BTB)X=(BX)T(BX)＞0， 故二次型XTBTBX是正定二次型，从而BTB为正定矩阵．
解析 (1)利用矩阵B的可逆性可构造矩阵证之．为此将B表示为两个可逆矩阵的乘积，也可利用向量组α，Aα，A2α线性无关的性质用定义证明．
(2)用定义证明XTBTBX为正定二次型．
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考研数学三

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