设f(x)在x=0处3阶可导,且f’(0)=0,f"(0)=0,f"(x)>0,则( ).

admin2016-12-16  23

问题 设f(x)在x=0处3阶可导,且f’(0)=0,f"(0)=0,f"(x)>0,则(     ).

选项 A、x=0是f(x)的极小值点
B、x=0是f(x)的极大值点
C、在点(0,f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凹与凸
D、在点(0,f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凸与凹

答案D

解析 利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之.
由泰勒公式及题设得到
f(x)=f(0)+f’(0)x+f""(0)x3+o(x3),
f(x)一f(0)=f"(0)x3+o(x3).
故当|x|充分小且x<0时,f(x)一f(0)<0;当x>0时,f(x)一f(0)>0.因而f(0)不是极值,排除(A)、(B).
又将f"(x)按皮亚诺余项展开,有
f"(x)=f"(0)+f""(0)z+o(x)=f""(0)x+o(x).
当|x|充分小且x<0时,f"(x)<0(因f""(0)>0),故曲线y=f(x)在点(0,f(0))的左侧邻域为凸.
当x>0时,因f""(0)>0,故f"(x)>0,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))的右侧邻域为凹.仅(D)入选.
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