设f(x)在x=0处3阶可导，且f’(0)=0，f"(0)=0，f"(x)＞0，则( )．

admin2016-12-16 41

问题设f(x)在x=0处3阶可导，且f’(0)=0，f"(0)=0，f"(x)＞0，则( )．

选项 A、x=0是f(x)的极小值点
B、x=0是f(x)的极大值点
C、在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凹与凸
D、在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凸与凹

答案D

解析利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之．
由泰勒公式及题设得到
f(x)=f(0)+f’(0)x+

f""(0)x³+o(x³)，
f(x)一f(0)=

f"(0)x³+o(x³)．
故当|x|充分小且x＜0时，f(x)一f(0)＜0；当x＞0时，f(x)一f(0)＞0．因而f(0)不是极值，排除(A)、(B)．
又将f"(x)按皮亚诺余项展开，有
f"(x)=f"(0)+f""(0)z+o(x)=f""(0)x+o(x)．
当|x|充分小且x＜0时，f"(x)＜0(因f""(0)＞0)，故曲线y=f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域为凸．
当x＞0时，因f""(0)＞0，故f"(x)＞0，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))的右侧邻域为凹．仅(D)入选．

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