设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．

admin2016-10-24 24

问题设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．

选项

答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a+b)，使得 [*] 两式相减得f(a+b)一f(a)一f(b)=[f’(ξ₂)一f’(ξ₁)]a．因为f"(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ₁＜ξ₂，所以f’(ξ₁)＜f’(ξ₂)，故f(a+b)一f(a)一f(b)=[f’(ξ₂)一f’(ξ₁)]a＞0，即 f(a+b)＞f(a)+f(b)．

解析

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考研数学三

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[*]
设△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C，∠B的平分线与对边AC交于点P，则由平面几何知道，AP／PC＝BA／BC，现假定底边BC保持不动，而让等腰三角形的高趋于零，此时点A就趋于底边BC的中点，试求这一变化过程中点P的极限位置．
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二元函数在点(0，0)处()．

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