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已知函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,∫01f(x)dx=1,证明: 存在η∈(0,1),使得f”(η)<-2.
已知函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,∫01f(x)dx=1,证明: 存在η∈(0,1),使得f”(η)<-2.
admin
2022-09-22
75
问题
已知函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=0,f(1)=1,∫
0
1
f(x)dx=1,证明:
存在η∈(0,1),使得f”(η)<-2.
选项
答案
若不存在η∈(0,1),使f”(η)<-2, 则对任何x∈(0,1),有f”(x)≥-2, 由拉格朗日中值定理得 f(x)-f(ξ)=f’(C)(x-ξ),C介于x与ξ之间, 不妨设x<ξ,f’(x)≤-2(x-ξ), 积分得∫
0
ξ
f’(x)dx≤-2∫
0
ξ
(x-ξ)dx=ξ
2
<1, 于是f(ξ)-f(0)<1,即f(ξ)<1, 这与f(ξ)>1相矛盾,故存在η∈(0,1),使f”(η)<-2.
解析
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考研数学二
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