从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速

admin2018-04-14  60

问题 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0)。试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v)。

选项

答案先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小:mg,浮力的大小:F=-ρB;阻力:-kv,则由牛顿第二定律得 md2y/dt2=mg-Bρ-kv,y|t=0=0,v|t=0=0。(*) [*] 代入(*)得y与v之间的微分方程 mv(dy/dv)-1=mg-Bρ-kv,v|y=0=0。 分离变量得 [*] 再根据初始条件v|y=0=0,即 [*]

解析
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