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  3. 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速

admin2018-04-14  107
问题 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。
选项
答案先建立坐标系，取沉放点为原点O，铅直向下作为Oy轴正向，探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用，其中重力大小：mg，浮力的大小：F浮=－ρB；阻力：－kv，则由牛顿第二定律得 md2y／dt2=mg－Bρ－kv，y|t=0=0，v|t=0=0。(*) [*] 代入(*)得y与v之间的微分方程 mv(dy／dv)－1=mg－Bρ－kv，v|y=0=0。 分离变量得 [*] 再根据初始条件v|y=0=0，即 [*]
解析
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考研数学二

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