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设函数y=f(x)存在二阶导数,且f'(x)≠0. (Ⅰ)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示及; (Ⅱ)求满足微分方程 (*) 的x与y所表示的关系式的曲线,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为1/2,在此曲线上任意点处的
设函数y=f(x)存在二阶导数,且f'(x)≠0. (Ⅰ)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示及; (Ⅱ)求满足微分方程 (*) 的x与y所表示的关系式的曲线,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为1/2,在此曲线上任意点处的
admin
2019-01-24
27
问题
设函数y=f(x)存在二阶导数,且f'(x)≠0.
(Ⅰ)请用y=f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示
及
;
(Ⅱ)求满足微分方程
(*)
的x与y所表示的关系式的曲线,它经过点(1,0),且在此点处的切线斜率为1/2,在此曲线上任意点处的f'(x)≠0.
选项
答案
(Ⅰ)由反函数的导数公式,有 [*] (Ⅱ)将(Ⅰ)中求得的[*]代入所给微分方程(*)式中,得 [*] 将(**)式中x看成函数,y看成自变量,(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程.按通常办法解之,得[*]. 再由条件:x=1时y=0,[*]代入上式得 [*] 解毕.
解析
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考研数学一
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