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设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f′(a)<0,f′(b)<0,则方程f′(x)在(a,b)内( ).
设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f′(a)<0,f′(b)<0,则方程f′(x)在(a,b)内( ).
admin
2016-11-03
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问题
设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f′(a)<0,f′(b)<0,则方程f′(x)在(a,b)内( ).
选项
A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个不相等的实根
D、至少有两个不相等实根
答案
D
解析
因 f′(a)=
<0,
故在a的某邻域内存在点x
1
,a<x
1
<
,使f(x
1
)<0.同理由f′(b)>0知,必存在点x
2
,
<x
2
<b,使f(x
2
)>0.由连续函数性质(介值定理)知,存在c∈(x
1
,x
2
)
(a,b),使f(c)=0.
在闭区间[a,c]和[c,b]上对f(x)分别使用罗尔定理知,至少存在一点ξ
1
∈(a,c),使得f′(ξ
1
)=0,至少存在一点ξ
2
∈(c,b),使得f′(ξ
2
)=0,故方程f′(x)=0在(a,b)内至少有两个不相等的实根.仅(D)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gTu4777K
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考研数学一
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