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  3. 设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f″(x)在(0，+∞)上有界，求证：f′(x)在(0，+∞)上有界．

设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f″(x)在(0，+∞)上有界，求证：f′(x)在(0，+∞)上有界．

admin2016-10-26  51
问题 设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f″(x)在(0，+∞)上有界，求证：f′(x)在(0，+∞)上有界．
选项
答案按条件，联系f(x)，f″(x)与f′(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式． [*]x＞0，h＞0有 f(x+h)=f(x)+f′(x)h+[*]f″(ξ)h2， 其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f′(x)+[*]f″(ξ)，即 f′(x)=f(x+1)一f(x)一[*]f″(ξ)． 由题设，｜f(x)｜≤M0，｜f″(x)｜≤M2([*]x∈(0，+∞))，M0，M2为常数，于是有 ｜f′(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+[*]｜f″(ξ)｜≤2M0+[*]x＞0)， 即f′(x)在(0，+∞)上有界．
解析
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考研数学一

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