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设f(x)在(0,+∞)二阶可导且f(x),f″(x)在(0,+∞)上有界,求证:f′(x)在(0,+∞)上有界.
设f(x)在(0,+∞)二阶可导且f(x),f″(x)在(0,+∞)上有界,求证:f′(x)在(0,+∞)上有界.
admin
2016-10-26
48
问题
设f(x)在(0,+∞)二阶可导且f(x),f″(x)在(0,+∞)上有界,求证:f′(x)在(0,+∞)上有界.
选项
答案
按条件,联系f(x),f″(x)与f′(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式. [*]x>0,h>0有 f(x+h)=f(x)+f′(x)h+[*]f″(ξ)h
2
, 其中ξ∈(x,x+h).特别是,取h=1,ξ∈(x,x+1),有 f(x+1)=f(x)+f′(x)+[*]f″(ξ),即 f′(x)=f(x+1)一f(x)一[*]f″(ξ). 由题设,|f(x)|≤M
0
,|f″(x)|≤M
2
([*]x∈(0,+∞)),M
0
,M
2
为常数,于是有 |f′(x)|≤|f(x+1)|+|f(x)|+[*]|f″(ξ)|≤2M
0
+[*]x>0), 即f′(x)在(0,+∞)上有界.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gUu4777K
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考研数学一
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