设f(x)在[0,+∞)上连续且单调增加,试证:对任意的a、b>0,恒有 ∫aaxf(x)dx≥[b∫0bf(x)一a∫0af(x)dx].

admin2017-07-26  27

问题 设f(x)在[0,+∞)上连续且单调增加,试证:对任意的a、b>0,恒有
    ∫aaxf(x)dx≥[b∫0bf(x)一a∫0af(x)dx].

选项

答案作辅助函数F(x)=x∫0xf(t)dt,则F’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x).于是 F(b)一F(a)=∫abF’(x)dx=∫ab[∫0xf(t)dt+xf(x)]dx ≤∫ab[xf(x)+xf(x)]dx=2∫abxf(x)dx, 即 ∫abxf(x)dx≥[*][b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx].

解析 待证结论的右边b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx可看作是函数F(x)=x∫0af(t)dx在a、b两点函数的差,所以可考虑用积分基本公式进行放缩.
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