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  3. 根据给出的教材片段，回答问题． 11.3.2 多边形的内角和 思考： 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三

根据给出的教材片段，回答问题． 11.3.2 多边形的内角和 思考： 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三

admin2018-01-26  13
问题 根据给出的教材片段，回答问题．
        11.3.2  多边形的内角和
        思考：
        我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗?
        要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°，只要将四边形分成几个三角形即可．
        如图11.3-8，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．
        
        由此可得
             ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
            =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
            =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)．
            ∵  ∠1+∠B+∠3=180°，
                ∠2+∠4+∠D=180°，
            ∴  ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°．
  即四边形的内角和等于360°．
        类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗?
        观察图11.3-9，填空：
               
        从五边形的一个顶点出发，可以作__________条对角线，它们将五边形分为____________个三角形，五边形的内角和等于180°×__________．
        从六边形的一个顶点出发，可以作__________条对角线，它们将六边形分为____________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________．
        通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?  (把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗?有新的分法，能得出多边形内角和公式吗?)
        一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．
        这样就得出了多边形内角和公式：
        n边形内角和等于(n－2)×180°．
        例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?
        解：如图11.3-10，在四边形ABCD中，
           
              ∠A+∠C=180°．
        ∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°
                          =360°，
        ∴  ∠B+∠D=360°－(∠A+∠C)
                   =360°－180°=180°．
        这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
        例2如图11.3-11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少?
            
        分析：考虑以下问题：
        (1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?
        (2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少?
        (3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?
        联系这些问题，考虑外角和的求法．
        解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°．因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°．
        这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
                      6×180°－(6－2)×180°=2×180°=360°．
        如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样结果吗?
        由上面的思考可以得到：
        多边形的外角和等于360°．
        你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°．
        如图11.3-12，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
        
问题：
请对本部分的内容进行分析．
选项
答案本节课是以三角形的内角和知识为基础，通过组织学生观察、类比、推理等数学活动，引导学生探索多边形的内角和公式．通过多种转化方法的探究让学生深刻体验化归思想，以及分类、数形结合的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力和语言表达能力．
解析
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