2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)可导，且．求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．

设f(x)在(a，b)可导，且．求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．

admin2016-10-20  1
问题 设f(x)在(a，b)可导，且．求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．
选项
答案(1)设g(x)=[*]则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)，把罗尔定理用于g(x)即知存在ξ∈(a，b)使得 g’(ξ)=f’(ξ)=0． (2)若f(x)≡A([*]∈(a，b))，结论显然成立．否则，必[*]∈(a，b)使得f(x0)≠A．不妨设f(x0)＜A，由极限的不等式性质知，[*]使得a+δ＜b-δ且当x∈(a，a+δ]或x∈[b-δ，b)时都有f(x)＞f(x0)，于是f(x)在[a+δ，b-δ]有最小值，且必在(a+δ，b-δ)内某点ξ取到．由费马定理知f’(ξ)=0．对f(x0)＞A的情形可类似证明．
解析 这是罗尔定理的推广．与罗尔定理比较，两者的不同在于本题中没有假设f(x)在[a，b]上连续．(1)的思路是利用f(x)在a和b单侧极限存在，补充定义f(x)在a和b两点的函数值就可转化为闭区间的情形．(2)的思路是利用极限的不等式性质把问题转化到(a，b)内的一个闭区间上讨论．(2)的好处是适用于证明(a，+∞)，(-∞，6)或(-∞，+∞)上的相应问题．
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考研数学三

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