设A、B均为n阶正交矩阵，则下列矩阵中不是正交矩阵的是( )

admin2020-03-02 26

问题设A、B均为n阶正交矩阵，则下列矩阵中不是正交矩阵的是( )

选项 A、AB^-1。
B、kA(｜k｜=1)。
C、A^-1B^-1。
D、A-B。

答案D

解析由题设条件，则
选项(A)，
(AB^-1)^TAB^-1=(B^-1)^TA^TAB^-1
=(B^-1)^TEB^-1=(B^T)^TB^T=BB^T=E，
  AB^-1是正交矩阵；
选项(B)，
(kA)^T(kA)=k²A^TA=E，
  kA(｜k｜=1)是正交矩阵；
选项(C)，
(A^-1B^-1)^TA^-1B^-1=(B^-1)^T(A^-1)^TA^-1B^-1=BAA^-1B^-1=E，
  A^-1B^-1是正交矩阵。
选项(D)，
(A-B)^T=A^T-B^T=A^-1-B^-1，
  故 (A-B)^T(A-B)=(A^-1-B^-1)(A-B)=2E-B^-1A-A^-1B≠E，
  A-B不是正交矩阵。应选(D)。

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考研数学一

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