设A，B为n阶矩阵，则下列结论错误的是( )．

admin2022-12-09 23

问题设A，B为n阶矩阵，则下列结论错误的是( )．

选项 A、若A～B，则A^m～B^m
B、若A～B，则λE—A～λE—B
C、若A～B且A，B可逆，则A^-1+A^*～B^-1+B^*
D、若A～B，则A+A^T～B+B^T

答案D

解析由A～B，即存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则
B^m=(P^-1AP)^m=P^-1A^mP，即A^m～B^m，(A)正确；
由P^-1(λE-A)P=λE-P^-1AP=λE-B得λE-A～λE-B，(B)正确；
由A～B得|A|=|B|，
由P^-1AP=B得B^-1=(P^-1AP)=P^-1A^-1P，即A^-1～B^-1；
再由B^-1=P^-1A^-1P得|B|B^-1=P^-1|A|A^-1P，即B^*=P^-1A^*P，
从而P^-1(A^-1+A^*)P=B^-1+^*，即A^-1+A^*～B^-1+B^*，(C)正确，应选(D)．

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