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计算曲面积分I﹦(2x3﹢az)dydz﹢(2y3﹢ax)dzdx﹢(2zz3﹢ay)dxdy,其中曲面∑为上半球面x﹦的外侧。
计算曲面积分I﹦(2x3﹢az)dydz﹢(2y3﹢ax)dzdx﹢(2zz3﹢ay)dxdy,其中曲面∑为上半球面x﹦的外侧。
admin
2019-01-22
34
问题
计算曲面积分I
﹦(2x
3
﹢az)dydz﹢(2y
3
﹢ax)dzdx﹢(2zz
3
﹢ay)dxdy,其中曲面∑为上半球面x﹦
的外侧。
选项
答案
添加曲面片S:z﹦0(x
2
﹢y
2
≤a
2
),并设Ω为由∑及S构成的封闭空间区域,所补平面的法向量方向向下,则原积分为 I﹦[*](2x
3
﹢az)dydz﹢(2y
3
﹢ax)dzdx﹢(2z
3
﹢ay)dxdy ﹣[*](2x
3
﹢az)dydz﹢(2y
3
﹢ax)dzdx﹢(2x
3
﹢ay)dxdy ﹦6[*](x
2
﹢y
2
﹢z
2
)dv﹢[*]aydxdy ﹦6∫
2π
0
dθ[*]sin φdφ∫
a
0
r
4
dr﹢a∫
2π
0
sin θdθ∫
a
0
r
2
dr ﹦[*] 本题考查高斯公式的应用。先通过补曲面,使其与已知曲面∑构成一个封闭曲面,在封闭曲面上应用高斯公式计算积分,再减去所添曲面上的对应积分。
解析
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考研数学一
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