计算曲面积分I﹦(2x3﹢az)dydz﹢(2y3﹢ax)dzdx﹢(2zz3﹢ay)dxdy，其中曲面∑为上半球面x﹦的外侧。

admin2019-01-22 71

问题计算曲面积分I

﹦(2x³﹢az)dydz﹢(2y³﹢ax)dzdx﹢(2zz³﹢ay)dxdy，其中曲面∑为上半球面x﹦

的外侧。

选项

答案添加曲面片S：z﹦0(x²﹢y²≤a²)，并设Ω为由∑及S构成的封闭空间区域，所补平面的法向量方向向下，则原积分为 I﹦[*](2x³﹢az)dydz﹢(2y³﹢ax)dzdx﹢(2z³﹢ay)dxdy ﹣[*](2x³﹢az)dydz﹢(2y³﹢ax)dzdx﹢(2x³﹢ay)dxdy ﹦6[*](x²﹢y²﹢z²)dv﹢[*]aydxdy ﹦6∫^2π₀dθ[*]sin φdφ∫^a₀r⁴dr﹢a∫^2π₀sin θdθ∫^a₀r²dr ﹦[*] 本题考查高斯公式的应用。先通过补曲面，使其与已知曲面∑构成一个封闭曲面，在封闭曲面上应用高斯公式计算积分，再减去所添曲面上的对应积分。

解析

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考研数学一

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计算曲面积分I﹦(2x3﹢az)dydz﹢(2y3﹢ax)dzdx﹢(2zz3﹢ay)dxdy，其中曲面∑为上半球面x﹦的外侧。

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