设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(a)=g(b)=1,在(a,b)内f(x),g(x)可导,且g(x)+g’(x)≠0,f’(x)≠0.证明:

admin2019-08-27  23

问题 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(a)=g(b)=1,在(a,b)内f(x),g(x)可导,且g(x)+g’(x)≠0,f’(x)≠0.证明:

选项

答案令φ(x)=exg(x),则由题设可知f(x),φ(x)在[a,b]上满足柯西中值定理,于是存在ξ∈(a,b),使得[*] 又因为g(a)=g(b)=1,所以 [*] (*) 又令φ(x)=ex,则f(x),φ(x)在[a,b]上满足柯西中值定理,于是存在η∈(a,b),使得 [*] (**) 由(*)、(**)可得[*]

解析 【思路探索】将η和ξ均看作变量,则上式可写成
辅助函数可令
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