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  3. 设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=______．

设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=______．

admin2019-01-12  37
问题 设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=______．
选项
答案na
解析 令x=－1，则f(1)=f(－1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)－f(－1)=2f(1)=2a．
    再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用第二数学归纳法证明f(n)=na．
    当n=1，2，3时，已知或者已证．假设1≤n≤k时，有f(n)=na．当n=k+1时，f(k+1)=f(k－1)+f(2)=(k－1)a+2a=(k+1)a．故对一切正整数n，有f(n)=na．令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a．又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=－f(－n)=－(－na)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．
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