设f(x)是奇函数,且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2),又f(1)=a,a为常数,n为整数,则f(n)=______.

admin2019-01-12  36

问题 设f(x)是奇函数,且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2),又f(1)=a,a为常数,n为整数,则f(n)=______.

选项

答案na

解析 令x=-1,则f(1)=f(-1)+f(2),因f(x)是奇函数,得到f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1)=2a.
    再令x=1,则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a,现用第二数学归纳法证明f(n)=na.
    当n=1,2,3时,已知或者已证.假设1≤n≤k时,有f(n)=na.当n=k+1时,f(k+1)=f(k-1)+f(2)=(k-1)a+2a=(k+1)a.故对一切正整数n,有f(n)=na.令x=0,则f(2)=f(0)+f(2),即f(0)=0=0.a.又f(x)是奇函数,故对一切负整数n有f(n)=-f(-n)=-(-na)=na.所以对一切整数n,均有f(n)=na.
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