设区域D由y轴，y＝x，y＝1所围成，则dxdy＝________．

admin2022-06-21 5

问题设区域D由y轴，y＝x，y＝1所围成，则

dxdy＝________．

选项

答案1／2

解析本题考查的知识点为计算二重积分．
其积分区域如图阴影区域所示

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．
解法1
由二重积分的几何意义可知可

dxdy表示积分区域D的面积，而区域D为等腰直角三角形，面积为1／2，因此

dxdy＝1／2·
解法2
化为先对y积分，后对x积分的二次积分．
作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此x≤y≤1．区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此0≤x≤1．
可得知

dxdy＝∫₀¹dx∫_x¹dy＝∫₀¹y∫_x¹dx＝∫₀¹(1－x)dx
＝(x－x²／2)｜₀¹＝1／2．
解法3
化为先对x积分，后对y积分的二次积分．
作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此0≤x≤y．区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此0≤y≤1．
可得知

dxdy＝∫₀¹dy∫₀^xdx
＝∫₀^xx｜₀^ydy＝∫₀¹ydy
＝y²／2｜₀¹＝1／2

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求函数极限：

曲线y=(x-1)3-1的拐点坐标是_________。

已知x1=1，x2=2都是函数y=αlnx+bx2+x的极值点，求α与b的值，并求此时函数曲线的凹凸区间。

设连续函数f(x)=lnx—∫1ef(x)dx，证明：∫1ef(x)dx=．

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设y1=x，y2=ex，y3=e－x是y’’＋Py’+qy=f(x)(其中，p，q都是常数)的三个特解，则该方程的通解为________．

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