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已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值。
已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值。
admin
2018-04-14
47
问题
已知函数y=y(x)满足微分方程x
2
+y
2
y’=1-y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值。
选项
答案
由x
2
+y
2
y’=1-y’,得 (y
2
+1)y’=1-x
2
,(1) 此方程为可分离变量的方程,其通解为 1/3y
3
+y=x-[*]x
3
+C。 由y(2)=0得C=2/3。 又由(1)式可得y’(x)=(1-x
2
)/(y
2
+1)。 当y’(x)=0时,x=±1,且有x<-1,y’(x)<0;-1<x<1,y’(x)>0;x>1,y’(x)<0,所以y(x)在x=-1处取得极小值,在x=1处取得极大值,且y(-1)=0,y(1)=1。所以y(x)的极大值为1,极小值为0。
解析
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考研数学二
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