已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1－y’，且y(2)=0，求y(x)的极大值与极小值。

admin2018-04-14 43

问题已知函数y=y(x)满足微分方程x²+y²y’=1－y’，且y(2)=0，求y(x)的极大值与极小值。

选项

答案由x²+y²y’=1－y’，得 (y²+1)y’=1－x²，(1) 此方程为可分离变量的方程，其通解为 1／3y³+y=x－[*]x³+C。由y(2)=0得C=2／3。又由(1)式可得y’(x)=(1－x²)／(y²+1)。当y’(x)=0时，x=±1，且有x＜－1，y’(x)＜0；－1＜x＜1，y’(x)＞0；x＞1，y’(x)＜0，所以y(x)在x=－1处取得极小值，在x=1处取得极大值，且y(－1)=0，y(1)=1。所以y(x)的极大值为1，极小值为0。

解析

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