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求曲线x3-xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
求曲线x3-xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
admin
2013-05-14
65
问题
求曲线x
3
-xy+y
3
=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
选项
答案
记曲线上点(x,y)到原点的距离的平方为f(x,y)=x
2
+y
2
,则问题转化为 求f(x,y)在条件x
3
-xy+y
3
-1=0下的最大值与最小值. 用拉格朗日乘子法.令F(x,y,λ)=x
2
+y
2
+λ(x
3
-xy+y
3-
1). 求驻点:解方程组 [*] 将①×y
2
-②×x
2
得 2xy(y-x)+λ(x-y)(x
2
+xy+y
2
)=0. 由此得x=y,以y=x代入③得 x
3
-x
2
+
3
-1=0. 改写成 x
2
(x-1)+(x-1)(x
2
+x+1)=0,即(x-1)(2x
2
+x+1)=0, 解得x=1,得唯一驻点(1,1).又曲线是含端点的曲线段,端点为(0,1)与(1,0).现比较函数值 f(0,1)=1,f(1,0)=1,f(1,1)=2. 因实际问题存在最长与最短距离,故最长距离为[*],最短距离为1.
解析
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考研数学二
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