2. 考研
  3. 求曲线x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

求曲线x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2013-05-14  54
问题 求曲线x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．
选项
答案记曲线上点(x，y)到原点的距离的平方为f(x，y)=x2+y2，则问题转化为 求f(x，y)在条件x3-xy+y3-1=0下的最大值与最小值． 用拉格朗日乘子法．令F(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1)． 求驻点：解方程组 [*] 将①×y2-②×x2得 2xy(y-x)+λ(x-y)(x2+xy+y2)=0． 由此得x=y，以y=x代入③得 x3-x2+3-1=0． 改写成 x2(x-1)+(x-1)(x2+x+1)=0，即(x-1)(2x2+x+1)=0， 解得x=1，得唯一驻点(1，1)．又曲线是含端点的曲线段，端点为(0，1)与(1，0)．现比较函数值 f(0，1)=1，f(1，0)=1，f(1，1)=2． 因实际问题存在最长与最短距离，故最长距离为[*]，最短距离为1．
解析
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考研数学二

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