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设曲线y=y(x),x∈[0,t],y(x)≥0.若y=y(x)在[0,t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为(,0),=4t/5,求y=y(x).
设曲线y=y(x),x∈[0,t],y(x)≥0.若y=y(x)在[0,t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为(,0),=4t/5,求y=y(x).
admin
2020-06-10
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问题
设曲线y=y(x),x∈[0,t],y(x)≥0.若y=y(x)在[0,t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为(
,0),
=4t/5,求y=y(x).
选项
答案
如下图取旋转体体积微元: [*] dV=πy
2
(x)dx. 则旋转体形心坐标([*],0)应满足 [*] 由题意得到 [*]y
2
(x)dx, 两边对t求导得到 ty
2
(t)=[*]ty
2
(t). 求导再化简得到 [*][y
2
(t)+2ty(t)y′(t)]=[*]5y
2
(t). 即2t[*]=3y分离变量解之即得 y=Ct
3/2
, 即 y=Cx
3/2
(C为任意常数).
解析
由形心坐标的积分表示得到y′(x)满足的微分方程,解之即得所求曲线方程y=y(x).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/h5v4777K
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考研数学一
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