2. 考研
  3. 设曲线y=y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0．若y=y(x)在[0，t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为(，0)，=4t／5，求y=y(x)．

设曲线y=y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0．若y=y(x)在[0，t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为(，0)，=4t／5，求y=y(x)．

admin2020-06-10  22
问题 设曲线y=y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0．若y=y(x)在[0，t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为(，0)，=4t／5，求y=y(x)．
选项
答案如下图取旋转体体积微元： [*] dV=πy2(x)dx． 则旋转体形心坐标([*]，0)应满足 [*] 由题意得到 [*]y2(x)dx， 两边对t求导得到 ty2(t)=[*]ty2(t)． 求导再化简得到 [*][y2(t)+2ty(t)y′(t)]=[*]5y2(t)． 即2t[*]=3y分离变量解之即得 y=Ct3／2， 即 y=Cx3／2 (C为任意常数)．
解析 由形心坐标的积分表示得到y′(x)满足的微分方程，解之即得所求曲线方程y=y(x)．
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考研数学一

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