2. 考研
  3. 设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的λ1，…，λm和k1，k2，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则( )

设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的λ1，…，λm和k1，k2，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则( )

admin2019-05-15  16
问题 设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的λ1，…，λm和k1，k2，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则(    )
选项 A、α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．
B、α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．
C、α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关．
D、α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关．
答案D
解析 本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解．若向量组γ1，γ2，…，γs线性无关，即若x1γ1+x2γ2+…+xsγs=0，必有x1=0，x2=0，…，xs=0．
    λ1，…，λm与k1，…，km不全为零，由此推不出某向量组线性无关，故应排除B、C．
    一般情况下，对于
    k1α1+k2α2+…+ksαs+l1β1+…+lsβs=0，
不能保证必有k1α1+k2α2+…+ksαs=0及l1β1+…+lsβs=0，故A不正确．由已知条件，有
λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+
k1(α1-β1)+…+km(αm-βm)=0，
又λ1，…，λm与k1，…，km不全为零，故α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关．故选D．
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