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设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的λ1，…，λm和k1，k2，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则( )
设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的λ1，…，λm和k1，k2，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则( )
admin
2019-05-15
25
问题
设有任意两个n维向量组α
1
，…，α
m
和β
1
，…，β
m
，若存在两组不全为零的λ
1
，…，λ
m
和k
1
，k
2
，…，k
m
，使(λ
1
+k
1
)α
1
+…+(λ
m
+k
m
)α
m
+(λ
1
-k
1
)β
1
+…+(λ
m
-k
m
)β
m
=0，则( )
选项
A、α
1
，…，α
m
和β
1
，…，β
m
都线性相关．
B、α
1
，…，α
m
和β
1
，…，β
m
都线性无关．
C、α
1
+β
1
，…，α
m
+β
m
，α
1
-β
1
，…，α
m
-β
m
线性无关．
D、α
1
+β
1
，…，α
m
+β
m
，α
1
-β
1
，…，α
m
-β
m
线性相关．
答案
D
解析
本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解．若向量组γ
1
，γ
2
，…，γ
s
线性无关，即若x
1
γ
1
+x
2
γ
2
+…+x
s
γ
s
=0，必有x
1
=0，x
2
=0，…，x
s
=0．
λ
1
，…，λ
m
与k
1
，…，k
m
不全为零，由此推不出某向量组线性无关，故应排除B、C．
一般情况下，对于
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+…+l
s
β
s
=0，
不能保证必有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0及l
1
β
1
+…+l
s
β
s
=0，故A不正确．由已知条件，有
λ
1
(α
1
+β
1
)+…+λ
m
(α
m
+β
m
)+
k
1
(α
1
-β
1
)+…+k
m
(α
m
-β
m
)=0，
又λ
1
，…，λ
m
与k
1
，…，k
m
不全为零，故α
1
+β
1
，…，α
m
+β
m
，α
1
-β
1
，…，α
m
-β
m
线性相关．故选D．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NBc4777K
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