求下列微分方程的通解或特解：

admin2017-10-23 119

问题求下列微分方程的通解或特解：

选项

答案(Ⅰ)属变量可分离的方程，它可以改写为 [*]=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]dx．两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)一∫xcos(lnx)[*]dx=xsin(lnx)一∫cos(lnx)dx，所以ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+C₁，即其通解为y=Ce^xsin(lnx)+ax，其中C是任意常数． (Ⅱ)属齐次微分方程．令y=xu，当x＞0时，原方程可化为 [*] 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin[*]=lnx+C(其中C是任意常数)．当x＜0时，上面的方程变为[*]=一ln｜x｜+C(其中C是任意常数)．所得的通解公式也可以统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解u=4—1，即u=±x． (Ⅲ)属齐次微分方程，它可改写为 [*] 于是，将u=[*]，其中C是任意常数． (Ⅳ)由初始条件y(1)=0知可在x＞0上求解，即解方程y’=[*]，分离变量并求积分，可得 4y+[*]y³=x(lnx一1)+C (*) 为其通解．再利用初始条件可确定C=1，于是所求特解为12y+y³=3x(lnx一1)+3．

解析

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考研数学三

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求下列微分方程的通解或特解：

考研数学三

证明：

设随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=(1)求P(X＞2Y)；(2)设Z=X+Y，求Z的概率密度函数．

设x的密度函数为fX(x)=的密度fY(y)．

设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有()．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f’(a)f’一(b)＞0，且g(x)≠0(x∈a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．

设A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

设总体X～N(μ，σ12)，Y～N(μ，σ22)，且X，Y相互独立，来自总体X，Y的样本均值为期望．

求微分方程(4一x+y)dx一(2一x—y)dy=0的通解．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)≤f(A)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设当x→0时，etanx一ex与xn是同阶无穷小，则n为()

齿轮齿条式转向器按输出端不同有_式和_式两种。

女性23岁，月经期。诉尿频、尿急、尿痛3天就诊。以往无类似发作史。体检：膀胱区无压痛，双肾区无叩痛。为明确诊断，最有价值的检查项目是

龋病的修复性治疗时，下列哪项属于窝洞的基本固位形

关于小儿牙齿的发育的叙述，错误的是（）

青霉素类药物可以采用的含量测定方法有

在阳光照射下，能够产生“冷室效应”的是()。

从基金资产中扣除基金负债即是()。

人身心发展的年龄特征表明个体发展具有（）

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设x的密度函数为fX(x)=的密度fY(y)．

设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有()．

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设A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

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设当x→0时，etanx一ex与xn是同阶无穷小，则n为()

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