求下列微分方程的通解或特解：

admin2017-10-23 75

问题求下列微分方程的通解或特解：

选项

答案(Ⅰ)属变量可分离的方程，它可以改写为 [*]=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]dx．两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)一∫xcos(lnx)[*]dx=xsin(lnx)一∫cos(lnx)dx，所以ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+C₁，即其通解为y=Ce^xsin(lnx)+ax，其中C是任意常数． (Ⅱ)属齐次微分方程．令y=xu，当x＞0时，原方程可化为 [*] 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin[*]=lnx+C(其中C是任意常数)．当x＜0时，上面的方程变为[*]=一ln｜x｜+C(其中C是任意常数)．所得的通解公式也可以统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解u=4—1，即u=±x． (Ⅲ)属齐次微分方程，它可改写为 [*] 于是，将u=[*]，其中C是任意常数． (Ⅳ)由初始条件y(1)=0知可在x＞0上求解，即解方程y’=[*]，分离变量并求积分，可得 4y+[*]y³=x(lnx一1)+C (*) 为其通解．再利用初始条件可确定C=1，于是所求特解为12y+y³=3x(lnx一1)+3．

解析

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考研数学三

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