设，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

admin2019-09-29 39

问题设

，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

选项

答案∣λE-A∣=[*]=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0,得矩阵A的特征值为λ₁=1-a,λ₂=a,λ₃=1+a. (1)当1-a≠a,1-a≠1+a,a≠1+a,即a≠0且a≠[*]时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化。 λ₁=1-a时，有[(1-a)E-A]X=0得ξ₁=[*]；λ₂=a时，由（aE-A)X=0得ξ₂= [*] （2）当a=0时，λ₁=λ₃=1，因为r(E-A)=2,所以方程组（E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化。（3）当[*]的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化.

解析

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考研数学二

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设，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

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