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设f(x,y)在D={(x,y)| x2+y2≤1}上连续,且满足 求f(x,y).
设f(x,y)在D={(x,y)| x2+y2≤1}上连续,且满足 求f(x,y).
admin
2022-05-20
36
问题
设f(x,y)在D={(x,y)| x
2
+y
2
≤1}上连续,且满足
求f(x,y).
选项
答案
由f(x,y)连续,知[*](1+x
2
+y
2
)f(x,y)dxdy存在,是一个常数,记A=(1+x
2
+y
2
)f(x,y)dxrdy,则由已知等式,有 (1+x
2
+y
2
)f(x,y)=㏑(1+x
2
+y
2
)-xy(1+x
2
+y
2
)A, 故A=[*](1+x
2
+y
2
)f(x,y)dxdy=[*]㏑(1+x
2
+y
2
)dxdyy-A[*]xy(1+x
2
+y
2
)dxdy. 由于D关于x,y轴均对称,且xy(1+x
2
+y
2
)关于x,y均为奇函数,故 [*]xy(1+x
2
+y
2
)dxdy=0 从而 A=Ⅱ[*]㏑(1+x
2
+y
2
)dxdy=∫
0
2π
dθ㏑(1+r
2
)·rdr =1/2∫
0
2π
dθ∫
0
1
㏑(1+r
2
)d(1+r
2
)=1/2·2π∫
0
1
㏑(1+r
2
)d(1+r
2
) (1+r
2
-t)π∫
1
2
㏑tdt=(2㏑2-1)π. 故f(x,y)=[㏑(1+x
2
+y
2
)]/(1+x
2
+y
2
)-(2㏑2-1)πxy
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hFR4777K
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考研数学三
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[*]
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