设f(x，y)在D={(x，y)｜ x2+y2≤1}上连续，且满足求f(x，y).

admin2022-05-20 47

问题设f(x，y)在D={(x，y)｜ x²+y²≤1}上连续，且满足

求f(x，y).

选项

答案由f(x,y)连续，知[*](1+x²+y²)f(x，y)dxdy存在，是一个常数，记A=(1+x²+y²)f(x，y)dxrdy，则由已知等式，有 (1+x²+y²)f(x，y)=㏑(1+x²+y²)-xy(1+x²+y²)A，故A=[*](1+x²+y²)f(x,y)dxdy=[*]㏑(1+x²+y²)dxdyy-A[*]xy(1+x²+y²)dxdy. 由于D关于x，y轴均对称，且xy(1+x²+y²)关于x，y均为奇函数，故 [*]xy(1+x²+y²)dxdy=0 从而 A=Ⅱ[*]㏑(1+x²+y²)dxdy=∫₀^2πdθ㏑(1+r²)·rdr =1/2∫₀^2πdθ∫₀¹㏑(1+r²)d(1+r²)=1/2·2π∫₀¹㏑(1+r²)d(1+r²) (1+r²-t)π∫₁²㏑tdt=(2㏑2-1)π．故f(x,y)=［㏑(1+x²+y²)］／(1+x²+y²)-(2㏑2-1)πxy

解析

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