2. 考研
  3. 就常数a的不同取值情况，讨论方程xe—x=a(a>0)的实根．

就常数a的不同取值情况，讨论方程xe—x=a(a>0)的实根．

admin2019-08-26  138
问题 就常数a的不同取值情况，讨论方程xe—x=a(a>0)的实根．
选项
答案令f (x)=x e—x—a．则f’(x)=(1—x)e—x，f’’(x)=(x—2)ex． 令f’(x)=0，得驻点x=1． 由于当x∈(—∞，1)时，f’(x)>0，f(x)在(—∞，1)单调增加， 当x∈(1，+∞)时，f’(x)<0，f(x)在(1，+∞)内单调减少， 所以f(x)在x=1处取得极大值，即最大值为f(1)=e—1—a． 则①当e—x—a <0时，即[*]时，f (x)≤f (1)<0，方程x e—x=a无实根． ②当—1—a=0，即[*]时，只有f (1)=0，而当x≠l时，f (x)< f (1)=0，方程x ex=a只有一个实根x=1． ③当e—1—a >0，即[*]，f (x)在(—∞，1)内单调增加，则f (x)=0在(—∞，1)内只有一个实根． 又因[*] f (x)在(1，+∞)内单调递减，则f (x)=0在(1，+∞)内只有一个实根． 所以方程x ex=a正好有两个实根。
解析 【思路探索】先确定函数的极值(或最值)，然后利用函数的几何形态讨论确定方程根的个数情况．
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考研数学三

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