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设f(χ)= (Ⅰ)求f′(χ); (Ⅱ)证明:χ=0是f(χ)的极大值点; (Ⅲ)令χn=1,考察f′(χn)是正的还是负的,n为非零整数; (Ⅳ)证明:对δ>0,f(χ)在(-δ,0]上不单调上升,在[0,δ]上不单调下
设f(χ)= (Ⅰ)求f′(χ); (Ⅱ)证明:χ=0是f(χ)的极大值点; (Ⅲ)令χn=1,考察f′(χn)是正的还是负的,n为非零整数; (Ⅳ)证明:对δ>0,f(χ)在(-δ,0]上不单调上升,在[0,δ]上不单调下
admin
2016-10-21
31
问题
设f(χ)=
(Ⅰ)求f′(χ);
(Ⅱ)证明:χ=0是f(χ)的极大值点;
(Ⅲ)令χ
n
=
1,考察f′(χ
n
)是正的还是负的,n为非零整数;
(Ⅳ)证明:对
δ>0,f(χ)在(-δ,0]上不单调上升,在[0,δ]上不单调下降.
选项
答案
(Ⅰ)当χ≠0时按求导法则得 [*] 当χ=0时按导数定义得 f′(0)=[*]=0 (Ⅱ)由于f(χ)-f(0)=-χ(2+sin[*])<0(χ≠0),即f(χ)<f(0),于是由极值的定义可知χ=0是f(χ)的极大值点. (Ⅲ)令χ
n
=[*](n=±1,±2,±3,…),则[*](-1)
n
,于是 f′(χ
n
)=[*] (Ⅳ)对[*]>0,当n为[*]负奇数且|n|充分大时χ
n
∈(-δ,0),f′(χ
n
)<0[*]f(χ)在(-δ,0)不单调上升;当n为正偶数且n充分大时χ
n
∈(0,δ),f′(χ
n
)>0得f(χ)在(0,δ)不单调下降.
解析
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考研数学二
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