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设A是n阶方阵,且E+A可逆,证明: (1)E-A和(E+A)-1相乘可交换; (2)若A为反对称矩阵,则(E-A)(E-A)-1是正交矩阵.
设A是n阶方阵,且E+A可逆,证明: (1)E-A和(E+A)-1相乘可交换; (2)若A为反对称矩阵,则(E-A)(E-A)-1是正交矩阵.
admin
2016-01-25
42
问题
设A是n阶方阵,且E+A可逆,证明:
(1)E-A和(E+A)
-1
相乘可交换;
(2)若A为反对称矩阵,则(E-A)(E-A)
-1
是正交矩阵.
选项
答案
(1)因 (E-A)(E+A)=E-A
2
=(E+A)(E-A), 两边分别左乘、右乘(E+A)
-1
得到 (E+A)
-1
(E-A)(E+A)(E+A)
-1
=(E+A)
-1
(E+A)(E-A)(E+A)
-1
, 故 (E+A)
-1
(E—A)=(E-A)(E+A)
-1
, 即E-A与(E+A)
-1
相乘可交换. (2)为证(E-A)(E+A)
-1
为正交矩阵,只需证 [(E—A)(E+A)
-1
]
T
=[(E—A)(E+A)
-1
]
-1
. 事实上,由(1)的结果得到 [(E-A)(E+A)
-1
]
T
=[(E+A)
-1
(E-A)]
T
=(E-A)
T
[(E+A)
-1
]
T
=(E—A
T
)[(E+A)
T
]
-1
=(E-A
T
)(E+A
T
)
-1
=(E+A)(E—A)
-1
(A为反对称矩阵,A
T
=-A), 而 [(E—A)(E+A)
-1
]
-1
=[(E+A)
-1
]
-1
(E—A)
-1
=(E+A)(E-A)
-1
, 故 [(E-A)(E+A)
-1
]
T
=[(E-A)(E+A)
-1
]
-1
, 所以(E—A)(E+A)
-1
为正交矩阵.
解析
(1)利用(E-A)(E+A)=(E+A)(E-A)及矩阵乘法运算证之;
(2)利用正交矩阵的定义(AA
T
=E,即A
-1
=A
T
)证之.
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考研数学三
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