设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明： (1)E－A和(E＋A)－1相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)－1是正交矩阵．

admin2016-01-25 39

问题设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明：
(1)E－A和(E＋A)^－1相乘可交换；
(2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)^－1是正交矩阵．

选项

答案(1)因 (E－A)(E＋A)＝E－A²＝(E＋A)(E－A)，两边分别左乘、右乘(E＋A)^－1得到 (E＋A)^－1(E－A)(E＋A)(E＋A)^－1＝(E＋A)^－1(E＋A)(E－A)(E＋A)^－1，故 (E＋A)^－1(E—A)＝(E－A)(E＋A)^－1，即E－A与(E＋A)^－1相乘可交换． (2)为证(E－A)(E＋A)^－1为正交矩阵，只需证 [(E—A)(E＋A)^－1]^T＝[(E—A)(E＋A)^－1]^－1．事实上，由(1)的结果得到 [(E－A)(E＋A)^－1]^T＝[(E＋A)^－1(E－A)]^T＝(E－A)^T[(E＋A)^－1]^T ＝(E—A^T)[(E＋A)^T]^－1＝(E－A^T)(E＋A^T)^－1 ＝(E＋A)(E—A)^－1 (A为反对称矩阵，A^T＝－A)，而 [(E—A)(E＋A)^－1]^－1＝[(E＋A)^－1]^－1(E—A)^－1 ＝(E＋A)(E－A)^－1，故 [(E－A)(E＋A)^－1]^T＝[(E－A)(E＋A)^－1]^－1，所以(E—A)(E＋A)^－1为正交矩阵．

解析 (1)利用(E－A)(E＋A)＝(E＋A)(E－A)及矩阵乘法运算证之；
(2)利用正交矩阵的定义(AA^T＝E，即A^－1＝A^T)证之．

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考研数学三

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