2. 考研
  3. 设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明： (1)E－A和(E＋A)－1相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)－1是正交矩阵．

设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明： (1)E－A和(E＋A)－1相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)－1是正交矩阵．

admin2016-01-25  58
问题 设A是n阶方阵，且E＋A可逆，证明：
(1)E－A和(E＋A)－1相乘可交换；
(2)若A为反对称矩阵，则(E－A)(E－A)－1是正交矩阵．
选项
答案(1)因 (E－A)(E＋A)＝E－A2＝(E＋A)(E－A)， 两边分别左乘、右乘(E＋A)－1得到 (E＋A)－1(E－A)(E＋A)(E＋A)－1＝(E＋A)－1(E＋A)(E－A)(E＋A)－1， 故 (E＋A)－1(E—A)＝(E－A)(E＋A)－1， 即E－A与(E＋A)－1相乘可交换． (2)为证(E－A)(E＋A)－1为正交矩阵，只需证 [(E—A)(E＋A)－1]T＝[(E—A)(E＋A)－1]－1． 事实上，由(1)的结果得到 [(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E＋A)－1(E－A)]T＝(E－A)T[(E＋A)－1]T ＝(E—AT)[(E＋A)T]－1＝(E－AT)(E＋AT)－1 ＝(E＋A)(E—A)－1 (A为反对称矩阵，AT＝－A)， 而 [(E—A)(E＋A)－1]－1＝[(E＋A)－1]－1(E—A)－1 ＝(E＋A)(E－A)－1， 故 [(E－A)(E＋A)－1]T＝[(E－A)(E＋A)－1]－1， 所以(E—A)(E＋A)－1为正交矩阵．
解析 (1)利用(E－A)(E＋A)＝(E＋A)(E－A)及矩阵乘法运算证之；
(2)利用正交矩阵的定义(AAT＝E，即A－1＝AT)证之．
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考研数学三

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