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设函数f(x)的瑕点为x=a,f(x)在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可积,则当∫ab|f(x)|dx收敛时,∫abf(x)dx也必定收敛,并有|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.
设函数f(x)的瑕点为x=a,f(x)在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可积,则当∫ab|f(x)|dx收敛时,∫abf(x)dx也必定收敛,并有|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.
admin
2022-11-23
22
问题
设函数f(x)的瑕点为x=a,f(x)在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可积,则当∫
a
b
|f(x)|dx收敛时,∫
a
b
f(x)dx也必定收敛,并有|∫
a
b
f(x)dx|≤∫
a
b
|f(x)|dx.
选项
答案
由于瑕积分∫
a
b
|f(x)|dx在瑕点x=a处收敛,由柯西准则知,对仟给的ε>0,存在δ>0,当u
1
,u
2
∈(a,a+δ)时,总有|[*]|f(x)|dx|<ε. 又f(x)在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可积,由定积分的绝对不等式有 [*] 从而由柯西准则知,∫
a
b
f(x)dx收敛.又|∫
a+δ
b
f(x)dx|≤∫
a+δ
b
|f(x)|dx,令δ→0
+
,得 |∫
a
b
f(x)dx|≤∫
a
b
|f(x)|dx.
解析
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考研数学一
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