2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值． (3)求作可逆矩

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值． (3)求作可逆矩

admin2018-06-27  15
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足
    Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
(1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．
(2)求A的特征值．
(3)求作可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)用矩阵分解求出 [*] (2)由于α1，α2，α3线性无关，(α1，α2，α3)是可逆矩阵，并且(α1，α2，α3)-1A(α1，α2，α3)=B，因此A和B相似，特征值相同． ｜λE-B｜=[*]=(λ-1)(λ2-5λ+4)=(λ-1)2(λ-4)． B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 (3)先把B对角化．求出B的属于1的两个线性无关的特征向量(1，-1，0)T，(0，2，-1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵 [*] D-1BD=[*] 令P=(α1，α2，α3)D=(α1-α2，2α2-α3，α2+α3)，则 P-1AP=D-1(α1，α2，α3)-1A(α1，α2，α3)D=D-1BD=[*]
解析
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考研数学二

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