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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值． (3)求作可逆矩
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值． (3)求作可逆矩
admin
2018-06-27
13
问题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量组，满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
，Aα
2
=2α
2
+α
3
，Aα
3
=2α
2
+3α
3
．
(1)求作矩阵B，使得A(α
1
，α
2
，α
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)B．
(2)求A的特征值．
(3)求作可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
选项
答案
(1)用矩阵分解求出 [*] (2)由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，(α
1
，α
2
，α
3
)是可逆矩阵，并且(α
1
，α
2
，α
3
)
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)=B，因此A和B相似，特征值相同． ｜λE-B｜=[*]=(λ-1)(λ
2
-5λ+4)=(λ-1)
2
(λ-4)． B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 (3)先把B对角化．求出B的属于1的两个线性无关的特征向量(1，-1，0)
T
，(0，2，-1)
T
；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)
T
．构造矩阵 [*] D
-1
BD=[*] 令P=(α
1
，α
2
，α
3
)D=(α
1
-α
2
，2α
2
-α
3
，α
2
+α
3
)，则 P
-1
AP=D
-1
(α
1
，α
2
，α
3
)
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)D=D
-1
BD=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hZk4777K
0
考研数学二
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