设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值． (3)求作可逆矩

admin2018-06-27 24

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的3维列向量组，满足
Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃．
(1)求作矩阵B，使得A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)B．
(2)求A的特征值．
(3)求作可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案(1)用矩阵分解求出 [*] (2)由于α₁，α₂，α₃线性无关，(α₁，α₂，α₃)是可逆矩阵，并且(α₁，α₂，α₃)^-1A(α₁，α₂，α₃)=B，因此A和B相似，特征值相同．｜λE-B｜=[*]=(λ-1)(λ²-5λ+4)=(λ-1)²(λ-4)． B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 (3)先把B对角化．求出B的属于1的两个线性无关的特征向量(1，-1，0)^T，(0，2，-1)^T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)^T．构造矩阵 [*] D^-1BD=[*] 令P=(α₁，α₂，α₃)D=(α₁-α₂，2α₂-α₃，α₂+α₃)，则 P^-1AP=D^-1(α₁，α₂，α₃)^-1A(α₁，α₂，α₃)D=D^-1BD=[*]

解析

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值． (3)求作可逆矩

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