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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (1)求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2)求A的特征值. (3)求作可逆矩
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (1)求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2)求A的特征值. (3)求作可逆矩
admin
2018-06-27
40
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量组,满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
(1)求作矩阵B,使得A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)B.
(2)求A的特征值.
(3)求作可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(1)用矩阵分解求出 [*] (2)由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,(α
1
,α
2
,α
3
)是可逆矩阵,并且(α
1
,α
2
,α
3
)
-1
A(α
1
,α
2
,α
3
)=B,因此A和B相似,特征值相同. |λE-B|=[*]=(λ-1)(λ
2
-5λ+4)=(λ-1)
2
(λ-4). B的特征值为1,1,4.A的特征值也为1,1,4 (3)先把B对角化.求出B的属于1的两个线性无关的特征向量(1,-1,0)
T
,(0,2,-1)
T
;求出B的属于4的一个特征向量(0,1,1)
T
.构造矩阵 [*] D
-1
BD=[*] 令P=(α
1
,α
2
,α
3
)D=(α
1
-α
2
,2α
2
-α
3
,α
2
+α
3
),则 P
-1
AP=D
-1
(α
1
,α
2
,α
3
)
-1
A(α
1
,α
2
,α
3
)D=D
-1
BD=[*]
解析
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考研数学二
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