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设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)-2f(ξ)+2=0.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)-2f(ξ)+2=0.
admin
2019-09-04
60
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且
,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)-2f(ξ)+2=0.
选项
答案
由[*]=1得f(0)=0,f’(0)=1, 由拉格朗日中值定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=[*]=1. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)-1], 由f’(0)=f’(c)-1得φ(0)=φ(c)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=-2e
-2x
[f’(x)-1]+e
-2x
f’’(x)=e
-2x
[f’’(x)-2f’(x)+2], 因为e
-2x
≠0,所以f’’(ξ)-2f’(ξ)+2=0.
解析
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考研数学三
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