2. 考研
  3. 设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

admin2018-07-26  95
问题 设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
选项
答案设有一组数k0，k1，…，kt．使得 k0β+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0 即(k0+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aαi=0(i=1，…，t)，得 (k0+k1+…+kt)Aβ=0 因为Aβ≠0，所以有 k0+k1+…+kt=0 (**) 代入(*)式，得 k1α1+…+ktαt=0 由于向量组α1，…，αt是方程组Ax=0的基础解系，所以 k1=…=kt=0 因而由(**)式得k0=0．因此，向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
解析
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考研数学三

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