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求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3).
求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3).
admin
2016-03-02
21
问题
求函数f(x)=x
2
ln(1+x)在x=0处的n阶导数f
(n)
(0)(n≥3).
选项
答案
(莱布尼兹公式)令u=x
2
,v=ln(1+x),则u′=2x,u″=2,u
(n)
=0(n≥3) 故由莱布尼兹公式(uv)
(n)
=[*]u
(k)
v
(n-k)
可知 (uv)
(n)
=[*]u
(k)
v
(n-k)
=[*]u
(0)
v
(n)
+[*]u
(1)
v
(n-1)
+[*]u
(2)
v
(n-2)
=x
2
[ln(1+x)]
(n)
+2nx[ln(1+x)]
(n-1)
+n(n一1)[ln(1+x)]
(n-2)
又因为[ln(1+x)]
(n)
=(-1)
(n-1)
[*],故当n≥3时,f
(n)
(x)=x
2
(-1)
(n-1)
[*]+n(n-1)(-1)
(n-3)
[*] 因此f
(n)
(0)=(-1)
(n-3)
!n(n-1)=[*]
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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