求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．

admin2016-03-02 26

问题求函数f(x)=x²ln(1+x)在x=0处的n阶导数f⁽ⁿ⁾(0)(n≥3)．

选项

答案(莱布尼兹公式)令u=x²，v=ln(1+x)，则u′=2x，u″=2，u⁽ⁿ⁾=0(n≥3) 故由莱布尼兹公式(uv)⁽ⁿ⁾=[*]u^(k)v^(n－k)可知 (uv)⁽ⁿ⁾=[*]u^(k)v^(n－k)=[*]u⁽⁰⁾v⁽ⁿ⁾＋[*]u⁽¹⁾v^(n－1)＋[*]u⁽²⁾v^(n－2)=x²[ln(1＋x)]⁽ⁿ⁾＋2nx[ln(1+x)]^(n－1)＋n(n一1)[ln(1＋x)]^(n－2) 又因为[ln(1＋x)]⁽ⁿ⁾=(－1)^(n－1)[*]，故当n≥3时，f⁽ⁿ⁾(x)＝x²(－1)^(n－1)[*]＋n(n－1)(－1)^(n－3)[*] 因此f⁽ⁿ⁾(0)=(－1)^(n－3)!n(n－1)=[*]

解析

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数学

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