(2017年)设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充要条件是( )

admin2018-04-23 57

问题 (2017年)设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充要条件是( )

选项 A、A与B相互独立。
B、A与B互不相容。
C、AB与C相互独立。
D、AB与C互不相容。

答案C

解析由A∪B与C独立可得
P((A+B)C)=P(A+B)P(C)，
其中P((A+B)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)，
P(A+B)P(C)=(P(A)+P(B)-P(AB))P(C)
=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)，
又因为A与C，B与C独立，故由上两式可得P(ABC)=P(AB)P(C)。
经验证，只有C选项满足P(ABC)=P(AB)P(C)。

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