设f(x)在[0,1]上可导且满足f(0)=. 证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)+f(ξ)=0.

admin2016-05-03  40

问题 设f(x)在[0,1]上可导且满足f(0)=
    证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)+f(ξ)=0.

选项

答案有两种证明方法. 从结论推上去,要证明存在一点ξ∈(0,1),使得 f’(ξ)+f(ξ)=0, 即eξf’(ξ)+eξf(ξ)=0,即证明存在ξ∈(0,1),使得 [eξf(ξ)]’=0. 令F(x)=exf(x),要证存在ξ∈(0,1)使得F’(ξ)=[exf(x)]’|x=ξ=0.为此,只要验证F(x)在[0,1]上满足罗尔定理即可.由于 [*] 即 F(0)=F(η),0<η<1. 所以存在ξ∈(0,η)[*](0,1),使得F’(ξ)=0,即 eξf’(ξ)+eξf(ξ)=0. 因eξ≠0,上式等价于f’(ξ)+f(ξ)=0.证毕.

解析
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