2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上可导且满足f(0)=． 证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上可导且满足f(0)=． 证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．

admin2016-05-03  58
问题 设f(x)在[0，1]上可导且满足f(0)=．
    证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．
选项
答案有两种证明方法． 从结论推上去，要证明存在一点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)+f(ξ)=0， 即eξf’(ξ)+eξf(ξ)=0，即证明存在ξ∈(0，1)，使得 [eξf(ξ)]’=0． 令F(x)=exf(x)，要证存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=[exf(x)]’｜x=ξ=0．为此，只要验证F(x)在[0，1]上满足罗尔定理即可．由于 [*] 即 F(0)=F(η)，0＜η＜1． 所以存在ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得F’(ξ)=0，即 eξf’(ξ)+eξf(ξ)=0． 因eξ≠0，上式等价于f’(ξ)+f(ξ)=0．证毕．
解析
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考研数学三

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