设f(x)在[0，1]上可导且满足f(0)=．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．

admin2016-05-03 62

问题设f(x)在[0，1]上可导且满足f(0)=

．
证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f(ξ)=0．

选项

答案有两种证明方法．从结论推上去，要证明存在一点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)+f(ξ)=0，即e^ξf’(ξ)+e^ξf(ξ)=0，即证明存在ξ∈(0，1)，使得 [e^ξf(ξ)]’=0．令F(x)=e^xf(x)，要证存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=[e^xf(x)]’｜_x=ξ=0．为此，只要验证F(x)在[0，1]上满足罗尔定理即可．由于 [*] 即 F(0)=F(η)，0＜η＜1．所以存在ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得F’(ξ)=0，即 e^ξf’(ξ)+e^ξf(ξ)=0．因e^ξ≠0，上式等价于f’(ξ)+f(ξ)=0．证毕．

解析

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考研数学三

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