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  3. 已知P－1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是 ( )

已知P－1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是 ( )

admin2016-09-19  25
问题 已知P－1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是    (    )
选项 A、[α1，－α2，α3]
B、[α1，α2+α3，α2－2α3]
C、[α1，α3，α2]
D、[α1+α2，α1－α2，α3]
答案D
解析 若P－1AP=A=，P=[α1，α2，α3]，则有AP=PA，即
A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]，
即    [Aα1，Aα2，Aα3]=[a1α1，a2α2，a3α3]．
可见αi是矩阵A属于特征值ai的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵P可逆，因此，α1，α2，α3线性无关．
若α是属于特征值λ的特征向量，则－α仍是属于特征值λ的特征向量，故(A)正确．
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则k1α+k2β仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2－2α3仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2－2α3线性无关，故(B)正确．
关于(C)，因为α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2，α3谁在前谁在后均正确，即(C)正确．
由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1－α2不再是矩阵A的特征向量，故(D)错误．
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考研数学三

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