设连续函数f(x)满足，求f(x)．

admin2020-04-21 25

问题设连续函数f(x)满足

，求f(x)．

选项

答案为了易于求导，将方程改写为 [*] 由于当f(x)连续时，上式右边可导，因而左边f(x)也可导，两边求导，有 [*] 同样，因等号右边可导，则fˊ(x)仍然可导．两边再求导，有 [*] 得出一个二阶常系数线性非齐次方程．解特征方程 λ²+1=0．得齐次方程通解为y=C₁sin x+C₂cos x，再令特解为 [*] 代入方程得a=1/2，b=0．所求方程通解为 [*] 由已知条件，有初始条件f(0)=0，fˊ(0)=1，故C₁=1/2，C₂=0，最后有 f(x)=1/2xcos x+1/2sin x

解析【思路探索】在已知等式的两端连续两次对x求导，得微分方程：f"(x)+f(x)=-sin x，解该方程可得f(x)．

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