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设f(x)可导且f(1)=0,证明:存在ξ,η∈(1,2),使得4f(2)=[2ξ2f(ξ)+ξ3f’(ξ)]ln2=4f’(η).
设f(x)可导且f(1)=0,证明:存在ξ,η∈(1,2),使得4f(2)=[2ξ2f(ξ)+ξ3f’(ξ)]ln2=4f’(η).
admin
2021-03-18
127
问题
设f(x)可导且f(1)=0,证明:存在ξ,η∈(1,2),使得4f(2)=[2ξ
2
f(ξ)+ξ
3
f’(ξ)]ln2=4f’(η).
选项
答案
令f
1
(x)=x
2
f(x),g(x)=lnx,显然g’(x)=[*](1<x<2), 由柯西中值定理,存在ξ∈(1,2),使得 [*] 整理得4f(2)=[2ξ
2
f(ξ)+ξ
3
f’(ξ)]ln2, 再由拉格朗日中值定理,存在η∈(1,2),使得 f(2)=f(2)-f(1)=f’(η)(2-1)=f’(η), 故4f(2)=[2ξ
2
f(ξ)+ξ
3
f’(ξ)]ln2=4f’(η).
解析
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考研数学二
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