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  3. 设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明： ∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．

设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明： ∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．

admin2019-02-23  93
问题 设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：
∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．
选项
答案∫1n-1f(x)dx=∫22f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx， 当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫12f(x)dx≤f(1)， 同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤[*]f(k)； 当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫12f(x)dx， 同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n-1nf(x)dx， 相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是[*]f(k)≤k(1)+∫1nf(x)dx．
解析
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考研数学二

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