已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2016-10-21 43

问题已知y₁^*＝χe^χ＋e^2χ，y₂^*＝χe^χ＋eχ^－χ，y₃^*＝χe^χ＋e^2χ－e^－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*－y₃^*＝e^－χ，y₂^*－y₃^*＝2e^－χ－e^2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁＝e^－χ，y₂＝2(y₁^*－y₃^*)－(y₂^*－y₃^*)＝e^2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*＝y₁^*－y₁＝χe^χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C₁e^－χ＋C₂e^2χ＋χe^χ，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ₁＝－1，λ₂＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ－2)=0，即λ²－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y₄^*＝χe^χ代入得 (χ＋2)e^χ－(χ＋1)e^χ－2χe^χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e^χ 因此方程为y〞－y′－2y＝(1－2χ)e^χ．

解析

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考研数学二

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已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学二

[*]

已知f(x,y)=x2arctan－y2arctan,求.

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

由方程所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,－1)处的全微分dz=________。

求曲线y=x2－2x,y=0,x=1,x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。

设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(x)与f’-(x)都存在，则()．

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成。将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103g／m3)

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3/2b时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

设一元函数f(x)有下列四条性质：①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]存在原函数；④f(x)在[a，b]可导。若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有()

《望星空》是为1959年人民大会堂的落成而作的诗歌，其作者是()

A．头B．足C．手D．背E．胸腹手三阴经与手三阳经相交于

焦四仙是焦三仙中加上

某省政府向社会公布了政府在行政审批领域中的权力清单。关于该举措，下列哪一说法是错误的?

下列哪一措施有助于完善确保依法独立公正行使审判权和检察权?()

协会应当自对期货从业人员做出纪律惩戒决定之日起(　　)个工作日内，向中国证监会及其有关派出机构报告。

谨慎性不允许企业()。

下列各项中，符合我国个人所得税法规定的是()。

某居民企业2018年度境内应纳税所得额为800万元；设立在甲国的分公司就其境外所得在甲国已纳企业所得税40万元，甲国企业所得税税率为20％。该居民企业2018年度企业所得税应纳税所得额是()万元。

已知y1*＝χeχ＋e2χ，y2*＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学二

[*]

已知f(x,y)=x2arctan－y2arctan,求.

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

由方程所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,－1)处的全微分dz=________。

求曲线y=x2－2x,y=0,x=1,x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。

设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(x)与f’-(x)都存在，则()．

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成。将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103g／m3)

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3/2b时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

设一元函数f(x)有下列四条性质：①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]存在原函数；④f(x)在[a，b]可导。若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有()

《望星空》是为1959年人民大会堂的落成而作的诗歌，其作者是()

A．头B．足C．手D．背E．胸腹手三阴经与手三阳经相交于

焦四仙是焦三仙中加上

某省政府向社会公布了政府在行政审批领域中的权力清单。关于该举措，下列哪一说法是错误的?

下列哪一措施有助于完善确保依法独立公正行使审判权和检察权?()

协会应当自对期货从业人员做出纪律惩戒决定之日起( )个工作日内，向中国证监会及其有关派出机构报告。

谨慎性不允许企业()。

下列各项中，符合我国个人所得税法规定的是()。

某居民企业2018年度境内应纳税所得额为800万元；设立在甲国的分公司就其境外所得在甲国已纳企业所得税40万元，甲国企业所得税税率为20％。该居民企业2018年度企业所得税应纳税所得额是()万元。

已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

协会应当自对期货从业人员做出纪律惩戒决定之日起(　　)个工作日内，向中国证监会及其有关派出机构报告。