2. 考研
  3. 已知y1*＝χeχ＋e2χ，y2*＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

已知y1*＝χeχ＋e2χ，y2*＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2016-10-21  107
问题 已知y1*＝χeχ＋e2χ，y2*＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．
选项
答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*－y3*＝e－χ，y2*－y3*＝2e－χ－e2χ． 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1＝e－χ，y2＝2(y1*－y3*)－(y2*－y3*)＝e2χ， 它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*＝y1*－y1＝χeχ． 因此该非齐次方程的通解是y＝C1e－χ＋C2e2χ＋χeχ，其中C1，C2为任意常数． 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)． 它的相应特征根是λ1＝－1，λ2＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ－2)=0，即λ2－λ－2＝0． 因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)． 再将特解y4*＝χeχ代入得 (χ＋2)eχ－(χ＋1)eχ－2χeχ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)eχ 因此方程为y〞－y′－2y＝(1－2χ)eχ．
解析
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考研数学二

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