已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2016-10-21 63

问题已知y₁^*＝χe^χ＋e^2χ，y₂^*＝χe^χ＋eχ^－χ，y₃^*＝χe^χ＋e^2χ－e^－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*－y₃^*＝e^－χ，y₂^*－y₃^*＝2e^－χ－e^2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁＝e^－χ，y₂＝2(y₁^*－y₃^*)－(y₂^*－y₃^*)＝e^2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*＝y₁^*－y₁＝χe^χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C₁e^－χ＋C₂e^2χ＋χe^χ，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ₁＝－1，λ₂＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ－2)=0，即λ²－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y₄^*＝χe^χ代入得 (χ＋2)e^χ－(χ＋1)e^χ－2χe^χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e^χ 因此方程为y〞－y′－2y＝(1－2χ)e^χ．

解析

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考研数学二

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已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学二

设f(x)的一个原函数为,求∫xf"(x)dx。

A、 B、 C、 D、 B

当x→0时，x-sinxcos2x～cxk，则c=，k=．

确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1+bx+cx2)=1+ax+σ(x3)．

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数f"(x)≤0,试证明：∫01f(x2)dx≤

y=ln2(1+x)+arctan(1+x)/(1-x)，则y’=________．

在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数情况满足所给的初始条件：x2－y2=C,y|x=0=5

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设矩阵A与B相似，且求a，b的值；

胆总管结石合并急性胆管炎时表现不包括()。

小儿腹泻每日补钾量正确的是(mmol/kg)

在声誉风险管理中，董事会及高级管理层的责任不包括()。

信用卡的同一持卡人单笔透支发生额单位卡不得超过10万元人民币。(　　　)

(浙江2010—83)如右图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝12，AD的长度是CD的2倍，四边形EBCD亏△AED的面积之比为3：2，问AE的长度是多少？()

Lookatthenotesbelow.Youwillhearatelephonemessageaboutcomplaints.MessageCaller:

Lifeinsurance,beforeavailableonlytoyoung,healthypersons,cannowheobtainedfromoldpeople,andevenforpets.

Harry’sgrandfatherhasagreat(collect)______ofoldcoins.

HowShouldYouBuildupYourVocabularyExactlywhatdoyoudoduringanormalday?Howdoyouspendyourtime?PaulT.Rank

已知y1*＝χeχ＋e2χ，y2*＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数f"(x)≤0,试证明：∫01f(x2)dx≤

y=ln2(1+x)+arctan(1+x)/(1-x)，则y’=________．

在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数情况满足所给的初始条件：x2－y2=C,y|x=0=5

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设矩阵A与B相似，且求a，b的值；

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