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已知y1*=χeχ+e2χ,y2*=χeχ+eχ-χ,y3*=χeχ+e2χ-e-χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.
已知y1*=χeχ+e2χ,y2*=χeχ+eχ-χ,y3*=χeχ+e2χ-e-χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.
admin
2016-10-21
109
问题
已知y
1
*
=χe
χ
+e
2χ
,y
2
*
=χe
χ
+eχ
-χ
,y
3
*
=χe
χ
+e
2χ
-e
-χ
是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.
选项
答案
易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y
1
*
-y
3
*
=e
-χ
,y
2
*
-y
3
*
=2e
-χ
-e
2χ
. 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y
1
=e
-χ
,y
2
=2(y
1
*
-y
3
*
)-(y
2
*
-y
3
*
)=e
2χ
, 它们是线性无关的.为简单起见,我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y
4
*
=y
1
*
-y
1
=χe
χ
. 因此该非齐次方程的通解是y=C
1
e
-χ
+C
2
e
2χ
+χe
χ
,其中C
1
,C
2
为任意常数. 由通解结构易知,该非齐次方程是:二阶线性常系数方程 y〞+py′+qy=f(χ). 它的相应特征根是λ
1
=-1,λ
2
=2,于是特征方程是 (λ+1)(λ-2)=0,即λ
2
-λ-2=0. 因此方程为y〞-y′-2y=f(χ). 再将特解y
4
*
=χe
χ
代入得 (χ+2)e
χ
-(χ+1)e
χ
-2χe
χ
=f(χ),即f(χ)=(1-2χ)e
χ
因此方程为y〞-y′-2y=(1-2χ)e
χ
.
解析
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考研数学二
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