已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2016-10-21 49

问题已知y₁^*＝χe^χ＋e^2χ，y₂^*＝χe^χ＋eχ^－χ，y₃^*＝χe^χ＋e^2χ－e^－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*－y₃^*＝e^－χ，y₂^*－y₃^*＝2e^－χ－e^2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁＝e^－χ，y₂＝2(y₁^*－y₃^*)－(y₂^*－y₃^*)＝e^2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*＝y₁^*－y₁＝χe^χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C₁e^－χ＋C₂e^2χ＋χe^χ，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ₁＝－1，λ₂＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ－2)=0，即λ²－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y₄^*＝χe^χ代入得 (χ＋2)e^χ－(χ＋1)e^χ－2χe^χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e^χ 因此方程为y〞－y′－2y＝(1－2χ)e^χ．

解析

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考研数学二

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已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学二

假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0＜c＜1.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=0.

设，则f(x)()．

确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1+bx+cx2)=1+ax+σ(x3)．

设f(x)在x=2处连续，且，则曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。试证：存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

设z=f(x2－y2,exy),其中f具有二阶连续偏导数，求.

计算积分,其中D由y=x,x=a,y=0围成。

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ)．

若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f"(x)＞0，则在(-∞，0)内()．

考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在[a，b]上连续．②f(x)在[a，b]上可积．③f(x)在[a，b]上可导．④f(x)在[a，b]上存在原函数．以P→Q表示由性质P可推出性质Q，则有()

鼻端生红色粉刺称"酒皴鼻"，多因

提供互联网药品信息服务的网站，将《互联网药品信息服务资格证书》的证书编号

关于模板支架施工安全要点的说法，正确的有()。

某县甲卷烟厂为增值税一般纳税人．2016年10月份甲卷烟厂向农业生产者收购烟叶，支付收购价款60万元，支付价外补贴6万元，开具烟叶收购发票。甲卷烟厂当月应缴纳烟叶税()万元。

纳税人办理下列哪些事项时，必须持税务登记证件?()

在课程设计模式中，“泰勒原理”在组织学习经验时提出了应遵守的三个准则，是()。

求满足下列条件的平面方程：(2)过点(3，0，－1)且与平面3x－7y＋5z－12＝0平行；(3)过点(1，0，－1)且同时平行于向量a＝2i＋j＋k和b＝i－j；(4)过点(1，1，1)和点(0，1，－1)且与平面x＋y＋z＝0相垂直；(5)过

Comparedwithelderlyparentsandadultchildreninfiveotherindustrializednations,Americansaretwiceaslikelytohave"di

已知y1*＝χeχ＋e2χ，y2*＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数。试证：存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

设z=f(x2－y2,exy),其中f具有二阶连续偏导数，求.

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设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)/(1-ξ)．

若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f"(x)＞0，则在(-∞，0)内()．

考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在[a，b]上连续．②f(x)在[a，b]上可积．③f(x)在[a，b]上可导．④f(x)在[a，b]上存在原函数．以P→Q表示由性质P可推出性质Q，则有()

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纳税人办理下列哪些事项时，必须持税务登记证件?()

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求满足下列条件的平面方程：(2)过点(3，0，－1)且与平面3x－7y＋5z－12＝0平行；(3)过点(1，0，－1)且同时平行于向量a＝2i＋j＋k和b＝i－j；(4)过点(1，1，1)和点(0，1，－1)且与平面x＋y＋z＝0相垂直；(5)过

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