已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2016-10-21 64

问题已知y₁^*＝χe^χ＋e^2χ，y₂^*＝χe^χ＋eχ^－χ，y₃^*＝χe^χ＋e^2χ－e^－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*－y₃^*＝e^－χ，y₂^*－y₃^*＝2e^－χ－e^2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁＝e^－χ，y₂＝2(y₁^*－y₃^*)－(y₂^*－y₃^*)＝e^2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*＝y₁^*－y₁＝χe^χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C₁e^－χ＋C₂e^2χ＋χe^χ，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ₁＝－1，λ₂＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ－2)=0，即λ²－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y₄^*＝χe^χ代入得 (χ＋2)e^χ－(χ＋1)e^χ－2χe^χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e^χ 因此方程为y〞－y′－2y＝(1－2χ)e^χ．

解析

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考研数学二

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已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学二

[*]

设函数,其中f是可微函数，则=________。

极限是否存在？

计算二重积分x2ydxdy,其中D是由双曲线x2－y2=1及直线y=0,y=1所围成的平面区域。

设x,y,z为实数，且满足关系式ex+y2+|z|=3,试证exy2|z|≤1.

将二重积分f(x,y)dxdy=∫1edx∫0lnxf(x,y)dy化为先对x后对y的二次积分，则f(x,y)dxdy=________。

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

设a1，a2，…，an为n个实数，并满足[*]，证明方程a1cosx+a2cos3x+…ancos(2n-1)x=0在(0，π/2)内至少有一实根．

设函数f(x)在[a，b]上连续，f’(x)在[a，b]上存在且可积，f(a)=f(b)=0，试证：|f(x)|≤∫abf(x)|dx(a＜x＜b)

婴儿出现()，如出血位置无法压迫，可让婴儿躺下，用拳头或手掌根部把出血的血管压向对侧的骨头方向。

常见的肛周脓肿是

治疗阴虚内热型内伤发热的首选方剂是

可能的诊断是若需要应采取的正确预防措施是

典型欠阻尼二阶系统超调量大于5％，则其阻尼ξ的范围为()。

从各国保险立法来看,关于投保人或被保险人的告知方式一般分为以下两种,即()。

Manystudentsfindtheexperienceofattendinguniversitylecturestobeareallyconfusingand【C1】______experience.Thelecture

Ithasbeenproventhatshortburstsofconcentrationrepeatedfrequentlyaremuchmore【B1】______thanonelongperiod.So,even

已知y1*＝χeχ＋e2χ，y2*＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学二

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设函数,其中f是可微函数，则=________。

极限是否存在？

计算二重积分x2ydxdy,其中D是由双曲线x2－y2=1及直线y=0,y=1所围成的平面区域。

设x,y,z为实数，且满足关系式ex+y2+|z|=3,试证exy2|z|≤1.

将二重积分f(x,y)dxdy=∫1edx∫0lnxf(x,y)dy化为先对x后对y的二次积分，则f(x,y)dxdy=________。

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

设a1，a2，…，an为n个实数，并满足[*]，证明方程a1cosx+a2cos3x+…ancos(2n-1)x=0在(0，π/2)内至少有一实根．

设函数f(x)在[a，b]上连续，f’(x)在[a，b]上存在且可积，f(a)=f(b)=0，试证：|f(x)|≤∫abf(x)|dx(a＜x＜b)

婴儿出现()，如出血位置无法压迫，可让婴儿躺下，用拳头或手掌根部把出血的血管压向对侧的骨头方向。

常见的肛周脓肿是

治疗阴虚内热型内伤发热的首选方剂是

可能的诊断是若需要应采取的正确预防措施是

典型欠阻尼二阶系统超调量大于5％，则其阻尼ξ的范围为()。

从各国保险立法来看,关于投保人或被保险人的告知方式一般分为以下两种,即()。

Manystudentsfindtheexperienceofattendinguniversitylecturestobeareallyconfusingand【C1】______experience.Thelecture

Ithasbeenproventhatshortburstsofconcentrationrepeatedfrequentlyaremuchmore【B1】______thanonelongperiod.So,even

已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋eχ－χ，y3*＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．