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设f(x)=xTAx为一n元二次型,且有Rn中的向量x1和x2,使得f(x1)>0,f(x2)<0.证明:存在Rn中的向量x0≠0,使f(x0)=0.
设f(x)=xTAx为一n元二次型,且有Rn中的向量x1和x2,使得f(x1)>0,f(x2)<0.证明:存在Rn中的向量x0≠0,使f(x0)=0.
admin
2017-07-26
66
问题
设f(x)=x
T
Ax为一n元二次型,且有R
n
中的向量x
1
和x
2
,使得f(x
1
)>0,f(x
2
)<0.证明:存在R
n
中的向量x
0
≠0,使f(x
0
)=0.
选项
答案
令向量x
0
=tx
1
+x
2
,其中t为待定实数,选择t,使f(x
0
)=0,即 x
0
T
Ax
0
=(tx
1
+x
2
)
T
A(tx
1
+x
2
) =(tx
1
T
+x
2
T
)A(tx
1
+x
2
) =t
2
x
1
T
Ax
1
+2tx
1
T
Ax
2
+x
2
T
Ax
2
=0, 记实数a=x
1
T
Ax
1
,b=x
1
T
Ax
2
,c=x
2
T
Ax
2
,则由题设条件知a>0,c<0.于是上式可写为 at
2
+2bt+c=0. 由于关于t的这个二次方程有a>0,判别式△=4b
2
一4ac>0,故该方程必有实根t
0
≠0,于是有向量x
0
=tx
1
+x
2
≠0(否则t
0
x
1
+x
2
=0,则x
2
=一t
0
x
1
,于是f(x
2
)=x
2
T
Ax
2
=(一t
0
x
1
)
T
A(一t
0
x
1
)=t
0
2
x
1
T
Ax
1
>0,它与已知的f(x
2
)<0相矛盾),使得 f(x
0
)=x
0
T
Ax
0
=at
0
2
+abt
0
+c=0.
解析
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0
考研数学三
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