设f(x)=xTAx为一n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0．证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0．

admin2017-07-26 59

问题设f(x)=x^TAx为一n元二次型，且有Rⁿ中的向量x₁和x₂，使得f(x₁)＞0，f(x₂)＜0．证明：存在Rⁿ中的向量x₀≠0，使f(x₀)=0．

选项

答案令向量x₀=tx₁+x₂，其中t为待定实数，选择t，使f(x₀)=0，即 x₀^TAx₀=(tx₁+x₂)^TA(tx₁+x₂) =(tx₁^T+x₂^T)A(tx₁+x₂) =t²x₁^TAx₁+2tx₁^TAx₂+x₂^TAx₂=0，记实数a=x₁^TAx₁，b=x₁^TAx₂，c=x₂^TAx₂，则由题设条件知a＞0，c＜0．于是上式可写为 at²+2bt+c=0．由于关于t的这个二次方程有a＞0，判别式△=4b²一4ac＞0，故该方程必有实根t₀≠0，于是有向量x₀=tx₁+x₂≠0(否则t₀x₁+x₂=0，则x₂=一t₀x₁，于是f(x₂)=x₂^TAx₂=(一t₀x₁)^TA(一t₀x₁)=t₀²x₁^TAx₁＞0，它与已知的f(x₂)＜0相矛盾)，使得 f(x₀)=x₀^TAx₀=at₀²+abt₀+c=0．

解析

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考研数学三

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设f(x)=xTAx为一n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0．证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0．

考研数学三

设某产品的成本函数为c=aq2+bq+c，需求函数为a=1/e(d-p)，其中C为成本，q为需求量(即产量)，p为单价，a，b，c，d，e都是正的常数，且d＞b，求：(Ⅰ)利润最大时的产量及最大利润；(Ⅱ)需求对价格的弹性；(Ⅲ)需求对价格弹性的绝对

A、 B、 C、 D、 C

[*]

已知yt=3et是差分方程yt-1+ayt-1=et的一个特解，则a=__________．

曲线的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a。试求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?

设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值

利用斯托克斯公式计算下列曲线积分，所有曲线从z轴的正向看去均取逆时针方向：

利用斯托克斯公式把定向曲面积分化为曲线积分，并计算积分值，其中A与∑分别如下：(1)A＝xyzi＋xj＋exyk，∑为上半球面的上侧；(2)A＝(y－z)i＋yzj－xzk，∑为立方体[0，2]×[0，2]×[0，2]的表面外侧去掉xy面上的那个底面．

设某商品的需求函数为Q=40—2P(P为商品的价格)，则该商品的边际收益为__________．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．

房劳过度耗伤

A．上腹部压痛B．腰部压痛C．脐周压痛D．右上腹压痛E．下腹部压痛

如图5－74所示，细长压杆两端在x－y、x－z平面内的约束条件相同，为提高稳定承载能力，对横截面积相等的同一种材料，合理的截面形式为()。

根据《关于清理和控制城市建设中脱离实际的宽马路、大广场建设的通知》的规定，下列关于加强对城市建设用地和城市建设资金管理的表述中，错误的是()。

概算指标的编制原则有(　　)。

根据票据法律制度规定，在下列情况中，汇票持票人可以行使追索权的是(　　)。

中国老年人口基数大，人口老龄化进程快，老年人慢性病患病率高。老龄事业面临的主要问题包括()。

判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：

A.differenttechniquesB.socialrelationshipsandcommunicationC.languageandinformationD.severalcausesworkingtogether

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