2. 专升本
  3. 已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1． 证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．

已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1． 证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．

admin2019-03-07  48
问题 已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．
证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．
选项
答案显然F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0， ∴方程F(x)=0在区间(0，1)内至少有一个实根． 由F’’(x)＜0知F’(x)在R上单调递减， ∴x＜1时，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0， 由此知F(x)在(0，1)内单调递增， 因此方程F(x)=0在(0，1)内至多只有一个实根， 故方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．
解析
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