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已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数,且f(1)=2,函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1. 证明:方程F(x)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数,且f(1)=2,函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1. 证明:方程F(x)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
admin
2019-03-07
71
问题
已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数,且f(1)=2,函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt一x
2
—1.
证明:方程F(x)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
选项
答案
显然F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=一1<0,F(1)=∫
0
1
f(t)dt一2>∫
0
1
2dt一2=0, ∴方程F(x)=0在区间(0,1)内至少有一个实根. 由F
’’
(x)<0知F
’
(x)在R上单调递减, ∴x<1时,有F
’
(x)>F
’
(1)=f(1)一2=0, 由此知F(x)在(0,1)内单调递增, 因此方程F(x)=0在(0,1)内至多只有一个实根, 故方程F(x)=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
解析
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高等数学二
成考专升本
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