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设f(x)在[a,b]上可导,在(a,b)内二阶可导, f(a)=f(b)=0,f′(a)f′(b)>0. 试证: (Ⅰ)存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0; (Ⅱ)存在η∈(a,b),使f″(η)=f(η).
设f(x)在[a,b]上可导,在(a,b)内二阶可导, f(a)=f(b)=0,f′(a)f′(b)>0. 试证: (Ⅰ)存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0; (Ⅱ)存在η∈(a,b),使f″(η)=f(η).
admin
2015-12-22
20
问题
设f(x)在[a,b]上可导,在(a,b)内二阶可导,
f(a)=f(b)=0,f′(a)f′(b)>0.
试证:
(Ⅰ)存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0;
(Ⅱ)存在η∈(a,b),使f″(η)=f(η).
选项
答案
利用极限的保号性及介值定理易证(Ⅰ).对(Ⅱ)可先作辅助函数 ψ(x)=e
x
f(x). 令其导数等于0,可产生 e
x
[f′(x)+f(x)]=0, 即 f′(x)+f(x)=0. 再作辅助函数F(x)=e
-x
[f(x)+f′(x)]证之. 证 (Ⅰ)由f′(a)f′(b)>0知,f′(a)与f′(b)同号,不妨设 f′(a)>0, f′(b)>0, 则 [*] 又由极限的保号性知,存在x
1
∈(a,a+δ
1
),使得f(x
1
)>0;同理存在x
2
∈(b一δ
2
,b),使得f(x
2
)<0. 由连续函数的介值定理(零点定理)知,存在[*],使得f(ξ)=0. (Ⅱ)令ψ(x)=e
x
f(x),则 ψ(a)=ψ(ξ)=ψ(b). 由罗尔定理知,存在ξ
1
∈(a,ξ),使 ψ′(ξ
1
)=[e
x
f(x)]′∣
x=ξ1
=0, 即f(ξ
1
)+f′(ξ
1
)=0. 同理,存在ξ
2
∈(ξ,b),使 ψ′(ξ
2
)=e
ξ2
[f(ξ
2
)+f′(ξ
2
)]=0, 即 f(ξ
2
)+f′(ξ
2
)=0. 再令 F(x)=e
-x
(f(x)+f′(x)), 则 F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0. 对F(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理知,存在 [*] 使得 F′(x)∣
x=η
={一e
-x
[f(x)+f′(x)]+e
-x
[f′(x)+f″(x)])
x=η
=e
-x
[f″(x)一f(x)]∣
x=η
=0, 即 F′(η)=e
-η
[f″(η)一f(η)]=0, 亦即 f″(η)=f(η).
解析
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考研数学二
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