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在等差数列{an}中,已知公差为2,且满足,求: (1)数列{an}的通项公式an; (2)记bn=2n.an,求数列{bn}的前n项和Tn.
在等差数列{an}中,已知公差为2,且满足,求: (1)数列{an}的通项公式an; (2)记bn=2n.an,求数列{bn}的前n项和Tn.
admin
2015-11-17
39
问题
在等差数列{a
n
}中,已知公差为2,且满足
,求:
(1)数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)记b
n
=2
n
.a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
选项
答案
(1)已知数列{a
n
}为等差数列,且公差为2, [*] 故a
1
=3. 所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=a
1
+(n一1)d=2n+1. (2)由b
n
=2
n
.a
n
,得b
n
=2
n
×(2n+1)=n.2
n+1
+2
n
, 所以T
n
=(2
2
+2
1
)+(2×2
3
+2
2
)+(3×2
4
+2
3
)+…+(n.2
n+1
+2
n
) =(2
2
+2×2
3
+3×2
4
+…+n.2
n—1
)+(2
1
+2
2
+2
3
+…+2
n
) 令m=2
2
+2×2
3
+3×2
4
+…+n.2
n+1
, 则2m=2
3
+2×2
4
+3×2
5
+…+n.2
n+2
, m一2m=2
2
+2
3
+2
4
+…+2
n+1
一n.2
n+2
, 即m=n.2
n-2
一(2
2
+2
3
+2
4
+…+2
n+1
). 将m代入T
n
中得到,T
n
=n.2
n+2
一(2
2
+2
3
+2
4
+…+2
n+1
)+(2
1
+2
2
+2
3
+…+2
n
), 化简得到T
n
=n.2
n+2
一2
n+1
+2.
解析
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