设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2． (1)求A的特征值． (2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?

admin2018-11-23 68

问题设A是3阶实对称矩阵，满足A²＋2A＝0，并且r(A)＝2．
(1)求A的特征值．
(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?

选项

答案(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ²＋2λ是A²＋2A的特征值．而A²＋2A＝0，因此λ²＋2λ＝0，故λ＝0或－2．又因为r(A－0E)＝r(A)＝2，特征值0的重数为3－r(A－0E)＝1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值为0，－2，－2． (2)A＋kE的特征值为k，k－2，k－2．于是当k＞2时，实对称矩阵A＋kE的特征值全大于0，从而A＋kE是正定矩阵．当k≤2时，A＋kE的特征值不全大于0，此时A＋kE不正定．

解析

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考研数学一

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设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2． (1)求A的特征值． (2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?

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若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则

(92年)计算曲面积分其中∑为上半球面的上侧．

(02年)设函数f(x)在x=0某邻域内有一阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a、b的值．

(16年)已知平面区域D={(r，θ)|2≤r≤2(1+cosθ)，}，计算二重积分

(06年)将函数展开成x的幂级数．

(05年)如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是由线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx．

(96年)设A=I一ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1；(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

计算下列第一型曲线积分：其中L是以原点为中心，R为半径的右上四分之一圆周，即：x2+y2一R2，x≥0，y≥0；

设向量a={1，2，3)，b={1，1，0)，若非负实数k使得向量a+kb与a－kb垂直，则实数k的值为______．

判断下列结论是否正确，并证明你的判断．(I)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又∈(a，b)使得极限=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若=∞，则使得当0＜|x-a|＜δ时有界•

把全部投资资金分为两大部分和一小部分，一大部分购买短期证券，另一大部分购买长期证券，一小部分购买中期证券，属于()。

引起血管舒张的因素有()

目前仅见于AML-M3型白血病，可作为M3诊断标准的染色体异常为

弯沉测试中，当弯沉仪置于规定位置，调整百分表读数300，指挥汽车缓缓前进迅速读取最大读数为360，当汽车开出影响半径以外百分表读数稳定后，读取终读数为270，那么该测点处回弹弯沉为()(0．01mm)。

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